压轴大题抢分专练（四）
x2y2
1．过椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)右焦点F(1,0)的直线与椭圆C交于A，B两点，自A，B向直
ab|AA1|
线x＝5作垂线，垂足分别为A1，B1，且＝5.
|AF|
(1)求椭圆C的方程；
(2)记△AFA1，△FA1B1，△BFB1的面积分别为S1，S2，S3，证明：解：(1)设A(x，y)，则|AA1|＝|5－x|，|AF|＝
S1·S3
是定值，并求出该定值． 2
S2
2
2
x－1
2
|AA1|xy＋y，由＝5，得＋＝1，
|AF|54
2
而A是椭圆C上的任一点，∴椭圆C的方程为＋＝1.
54
(2)证明：由题意知，直线AB的斜率不可以为0，而可以不存在，∴可设直线AB的方程为x＝my＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x2y2
x＝my＋1，??22由?xy＋＝1，??54
1
2
得(4m＋5)y＋8my－16＝0，
22
8m16
∴y1＋y2＝－2，y1y2＝－2.①
4m＋54m＋511
由题意，S1＝|AA1||y1|＝|5－x1||y1|，
22
S3＝|BB1||y2|＝|5－x2||y2|， S2＝|A1B1|·4＝2|y1－y2|，
∴＝
1
2
12
S1S315－x1
＝·S2162
14－my1·16
5－x2y1－y2
2
－y1y2
2
4－my2y1－y2
－y1y2
2
1y1y2[16－4my1＋y2＋my1y2]＝－·，
16y1＋y22－4y1y2将①代入，化简并计算可得∴
S1S31
＝， S242
S1·S31
是定值，且该定值为. 2
S24
?1?2n*
2．设an＝x，bn＝??，Sn为数列{an·bn}的前n项和，令fn(x)＝Sn－1，x∈R，n∈N.
n??
- 1 -
?2n－1?
?的前n项和Tn； (1)若x＝2，求数列?
?
an?
?2?*
(2)求证：对任意n∈N，方程fn(x)＝0在xn∈?，1?上有且仅有一个根；
?3?
1*
(3)求证：对任意p∈N，由(2)中xn构成的数列{xn}满足0 n2n－1n解：(1)∵x＝2，∴an＝2，令cn＝n， 2 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋2＋…＋ 1132n－1 Tn＝2＋3＋…＋n＋1， ② 2222 13 222n－1 ， ① n2 1?2n－111?11 ①－②得Tn＝＋2?2＋3＋…＋n?－n＋1 2?222?221?1? 2?1－n－1?2?2?2n－132n＋31 ＝＋2×－n＋1＝－n＋1， 21222 1－22n＋3 ∴Tn＝3－n. 2 xn* (2)证明：对任意n∈N，当x>0时，由函数fn(x)＝－1＋x＋2＋2＋…＋2(x∈R，n∈N)， 23n* x2x3 xn－1 可得f′(x)＝1＋＋＋…＋>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 23nxx2 111 令fn(xn)＝0，当n≥2时，fn(1)＝2＋2＋…＋2>0，即fn(1)>0. 23n??2??2??2??2?n?2?2???2??3??411n?2?i?????3?≤－＋·? ?? 又fn??＝－1＋＋?3??3??3? 3?2＋2＋2＋…＋2?34i＝2?3??3? 234n?? ?2?2?1－?2?n－1? ??????11?3???3?? 21－3 ＝－＋× 34 1?2?n－1 ＝－×??<0， 3?3? ?2?根据函数的零点判定定理，可得存在唯一的xn∈?，1?，满足fn(xn)＝0. ?3? 当n＝1时，显然存在唯一的x1＝1满足f1(x1)＝0. ?2?* 综上所述，对任意n∈N，方程fn(x)＝0在xn∈?，1?上有且仅有一个根． ?3? - 2 - xn＋1 (3)证明：当x>0时，∵fn＋1(x)＝fn(x)＋ n＋1 由fn＋1(x)在(0，＋∞)上单调递增， 可得xn＋1 即对任意的n，p∈N，xn－xn＋p>0. * 2 >fn(x)，∴fn＋1(xn)>fn(xn)＝fn＋1(xn＋1)＝0. xnn由于fn(xn)＝－1＋xn＋2＋2＋…＋2＝0，① 23nx2x3nnn＋1 xnxn＋pn＋p?fn＋p(xn＋p)＝－1＋xn＋p＋2＋2＋…＋2＋? 23n?n＋1 x2x3n＋pn＋p＋2 xnn＋p2＋ n＋2n＋pxn＋p2＋…＋ n＋p2 ?＝0，?? ② 用①减去②并移项，利用0 kn＋pxkxkn＋p－xnn＋pxn－xn＋p＝? ＋? 2 2 kkk＝2k＝n＋1 n≤ n＋pxkk＝n＋1 ? k2 n＋p< n＋p1 n＋p? k2 1 111 ＝－<. nn＋pn综上可得，对于任意p∈N，由(2)中xn构成的数列{xn} 1 满足0 * n - 3 -
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