又∵sin α＋cos α＝1，sin αcos α＝∴(sin α－cos α)＝1－2×得sin α－cos α＝±
2
22
3， 10
32＝； 105
10； 5
ππ22
由＜α＜，知 10 .故选B. 5 ππ?π2π?)，∴＋α∈?，?， 3?26?6 9．C 【解析】∵α∈(0， ?π?1?π?由cos?＋α?＝，得sin?＋α?＝ ?6?3?6? π??则sin α＝sin??＋α ??6 ?22， 2?π 1－cos?＋α?＝ ?6?3 ?－π? ?6??? ?π?π?π?π22×3－1×1＝26－1.故选C. ＝sin?＋α?cos－cos?＋α?sin＝ 6632326?6??6? 10．B 【解析】将y＝3sin?2x＋ ? ? π?π??π?π?的图象向右平移个单位长度后得到y＝3sin?2?x－?＋?，即y＝?2?3?3?2?? ?3sin?2x－ ? 2π?7ππ2ππ?π?的图象，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得x∈?＋kπ，＋kπ?，k∈Z，?3?12232?12? 2π?7π??π?2x－2π?在＋kπ?即函数y＝3sin ?2x－?的单调递增区间为?＋kπ，，k∈Z，令k＝0，可得y＝3sin??3?123???12??? ?π7π?区间?，?上单调递增，故选B. ?1212? →→→ 11．D 【解析】由题意可得OP－OA＝AP＝λ? ? ??， ＋→·cos C??→ AC?AB·cos B? → AB→AC ||||→→→?→?AB·BCAC·BC→→?? ＋所以AP·BC＝λ →·cos C??→·cos BABAC?? ||||→→＋→?＝0，所以→＝λ?－AP⊥BC，即点P在BC边的高所在直线上，即点P的轨迹经过△ABC的垂BCBC??心，故选D. 二、填空题 12．π 【解析】(略) 1 13．－ 【解析】sin α＋cos β＝1， 2 两边平方可得：sin α＋2sin αcos β＋cos β＝1，①， cos α＋sin β＝0， 22 两边平方可得：cos α＋2cos αsin β＋sin β＝0，②， 由①＋②得：2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，即2＋2sin(α＋β)＝1， ∴2sin(α＋β)＝－1. 1 ∴sin(α＋β)＝－. 2 2 2 |||| 14. 17→→→→→?1?1?? 【解析】∵AB⊥AC，|AB|·|AC|＝1，建立如图所示坐标系，设B?，0?，C(0，t)， AB＝?，0?，8?t??t? →→ AC11→→AB?1?1 AC＝(0，t)，AP＝＋＝t?，0?＋(0，t)＝(1，)，∴P(1，)， →→44?t?4t|AB|4|AC| ?1?λ?－1?＝－1，???t?1?11?→→??∵P为线段BC上一点，∴可设PC＝λPB，从而有?－1，t－?＝λ?－1，－?，即?解之 4?4???t11 ??t－4＝－4λ， 1 得t＝. 2 ?1??1?∴B(2，0)，C?0，?.显然P?1，?为BC中点，∴点P为△ABC外接圆圆心．Q在△ABC外接圆上，又当AQ?2??4? →＝17， 过点P时→有最大值为2AQAP2 |||| 171717→→→此时AP与AQ夹角为θ＝0°，cos θ＝1.∴→＝×＝. AP·AQmax248 三、解答题 () 15．【解析】(1)由题意，cos α≠0，由 5sin α－cos α5tan α－1 ＝1，可得＝1， cos α＋sin α1＋tan α 1 即5tan α－1＝1＋tan α，解得tan α＝.(4分) 22tan α4 (2)由(1)得tan 2α＝＝， 21－tanα3π?tan 2α＋1?tan?2α＋?＝＝－7.(8分) 4?1－tan 2α? 16．【解析】(1)角α的终边过点(3，4)，∴r＝3＋4＝5， y4x3 ∴sin α＝＝，cos α＝＝； r5r5π??∴a·b＝2sin α＋sin?α＋? 4??＝2sin α＋sin αcos ππ＋cos αsin 44 2 2 4423232 ＝2×＋×＋×＝.(5分) 552522(2)若a∥b，则2sin αsin?a＋ ? ? π?＝1， 4?? ππ??即2sin α?sin αcos＋cos αsin?＝1， 44??∴sin α＋sin αcos α＝1， 22 ∴sin αcos α＝1－sin α＝cos α， 对锐角α有cos α≠0， ∴tan α＝1， π ∴锐角α＝.(10分) 4 2 ?π?2 17．【解析】(1)f(x)＝sin?－x?sin x－3cos x ?2? ＝cos xsin x－3 (1＋cos 2x) 2 π?1333?＝sin 2x－cos 2x－＝sin?2x－?－， 3?2222?2－3 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(6分) 2 ππππ5ππ?π2π?(2)当x∈?，?时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；≤3?3326122?62x－ π52π ≤π即π≤x≤时，f(x)单调递减． 3123 ?π5π?上单调递增；在?5π，2π?上单调递减．(12分) 综上可知，f(x)在?，??12?3??612?? 18. 149a2＋a20a1＋a21S21149 【解析】＝＝＝. 24b7＋b15b1＋b21T2124 2 x＋1＋2x＋sin x2x＋sin x2x＋sin x19．2 【解析】可以将函数式整理为f(x)＝＝1＋，不妨令g(x)＝，222 x＋1x＋1x＋1易知函数g(x)为奇函数关于原点对称，∴函数f(x)图象关于点(0，1)对称．若x＝x0时，函数f(x)取得最大值 M，则由对称性可知，当x＝－x0时，函数f(x)取得最小值m，因此，M＋m＝f(x0)＋f(－x0)＝2. 1 20．【解析】(1)如图，取PD中点M，连接EM、AM.由于E、M分别为PC、PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC， 2又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM. 因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，因为AM平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD.(5分) (2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD， 得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM，又因为AD＝AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角． 依题意，有PD＝22，而M为PD中点，可得AM＝2，进而BE＝2.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝AB13＝，因此sin∠EBM＝. BE32 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为21．【解析】(1)∵在四边形ABCD中， AD∥BC，AB＝3，∠A＝120°，BD＝3. 2 3＋AD－9 ∴由余弦定理得cos 120°＝， 2×3×AD解得AD＝3(舍去AD＝－23)， ∴AD的长为3.(5分) 1 (2)∵AB＝AD＝3，∠A＝120°，∴∠ADB＝(180°－120°)＝30°，又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°. 2 3 .(13分) 3 EMBE ＝ BC ∵∠BCD＝105°，∠DBC＝30°，∴∠BDC＝180°－105°－30°＝45°，△BCD中，由正弦定理得 sin 45°＝ 3 ，解得BC＝33－3.(9分) sin 105° 119 从而S△BDC＝BC·BDsin∠DBC＝×(33－3)×3×sin 30°＝(3－1)．(10分) 224113 S△ABD＝AB×ADsin A＝×3×3×sin 120°＝3.(11分) 224∴S＝S△ABD＋S△BDC＝ 123－9 .(13分) 4 22．【解析】(1)当b＝－1时，f(x)＝x|x－a |－x＝x(|x－a|－1)， 由f(x)＝0，解得x＝0或|x－a|＝1， 由|x－a|＝1，解得x＝a＋1或x＝a－1. ∵f(x)恰有两个不同的零点且a＋1≠a－1， ∴a＋1＝0或a－1＝0，得a＝±1.(4分) (2)当b＝1时，f(x)＝x|x－a|＋x， ①∵对于任意x∈[1，3]，恒有 f（x） ≤2x＋1， x x|x－a|＋x即≤2x＋1，即|x－a|≤2x＋1－1， x∵x∈[1，3]时，2x＋1－1>0， ∴1－2x＋1≤x－a≤2x＋1－1， ?a≤x＋2x＋1－1， 即x∈[1，3]时恒有?成立． ?a≥x－2x＋1＋1， 令t＝x＋1，当x∈[1，3]时，t∈[2，2]，x＝t－1. 222 ∴x＋2x＋1－1＝t＋2t－2＝(t＋1)－3≥(2＋1)－3＝22， 22 ∴x－2x＋1＋1＝t－2t＝(t－1)－1≤0， 综上，a的取值范围是[0，22]．(8分) 2 ②f(x)＝?2 ?x－ax＋x，x>a? ?x－a＋1?＋（a＋1），x≤a，?－??2 2?4??－x＋ax＋x，x≤a?? 2 2 ＝ ? a－1?2（a－1）??x－，x>a.?－2???4? 2 a－1a＋1 当0＜a≤1时，≤0，≥a， 22这时y＝f(x)在[0，2]上单调递增， 此时g(a)＝f(2)＝6－2a； a－1a＋1 当1＜a＜2时，0＜<＜a＜2， 22y＝f(x)在?0， ? ? a＋1??a＋1，a?上单调递减，在[a，2]上单调递增， 上单调递增，在???2??2? ??a＋1??a＋1?（a＋1）2?∴g(a)＝max?f?，f(2)＝6－2a， ?，f（2）?，f?2?＝ 4????2?? ?a＋1?－f(2)＝（a＋1）－(6－2a)＝（a＋5）－48， 而f??44?2? 当1＜a＜43－5时，g(a)＝f(2)＝6－2a； a＋1?（a＋1）2?当43－5≤a＜2时，g(a)＝f?； ?＝ 4?2? 22
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