第1章 计数原理 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学
业分层测评 北师大版选修2-3
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．如图1-1-1所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有( )
图1-1-1
A．6条 C．9条
B．5条 D．4条
【解析】 从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条．由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3＋2＝5条．
【答案】 B
2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )
A．96种 C．120种
B．24种 D．12种
【解析】 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．
【答案】 A
3．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( ) A．5种 C．8种
3
B．3种 D．15种
5
【解析】 每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝3种投法．
【答案】 B
4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( ) A．15 C．5
【解析】 利用分类加法计数原理．
B．12 D．4
5
当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5个；当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4个．据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．
【答案】 A
5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有( ) 【导学号：62690002】
A．18条 C．25条
B．20条 D．10条
【解析】 第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当
A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的
方程，故共有5×4－2＝18条．
【答案】 A 二、填空题
x2y2
6．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足
mn题意的椭圆的个数为______．
【解析】 因为焦点在y轴上，所以0 n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3 ＋2＝20个． 【答案】 20 7．某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________． 【解析】 将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)． 【答案】 42 8．如图1-1-2，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________． 图1-1-2 【解析】 依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大 为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19. 【答案】 19 三、解答题 9．有不同的红球8个，不同的白球7个． (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ 【解】 (1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种)． (2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种)． 10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法； (2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 【解】 从O型血的人中选1人有28种不同的选法； 从A型血的人中选1人有7种不同的选法； 从B型血的人中选1人有9种不同的选法； 从AB型血的人中选1人有3种不同的选法． (1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法． (2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理． 有28×7×9×3＝5 292种不同的选法． 能力提升] 1.一植物园参观路径如图1-1-3所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( ) 图1-1-3 A．6种 C．36种 B．8种 D．48种 【解析】 由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一 个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线． 【答案】 D 2．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( ) A．180种 C．720种 B．360种 D．960种 【解析】 分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种． 【答案】 D 3．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A， B的值，则可表示________条不同的直线. 【导学号：62690003】 【解析】 若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线． 【答案】 22 4．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)， (1)P可以表示平面上的多少个不同点？ (2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？ (3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？ 【解】 (1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点． (2)根据条件需满足a<0，b>0. 完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点． (3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．
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