人口增长的变化规律有重大意义。如果我们能很好的控制参数α，也就控制了人口增长方式，是人口数朝着有利的方向发展。
2.5 Feignbaum图
对于Logistic映射f（x）=αx（1-x），我们来做一个实验：首先取α的值为3，在（0，1）中随机取一数作为初值
x0进行迭代，共迭代300次左右，丢弃起始的100次迭代的数据，在图上绘出所有的点（α，xn）（n>100）。然后慢慢地增加α值，每增加一次，都重复前面的步骤，一直增加到α=4为止，这样得到的图形，称为Feignbaum图
图4.5是由α取步长0.01所绘制的Feignbaum图，其Mathmatica程序如下： Clear[f，u，x]；f[u-，x-]：=u*x*（1-x）； X0=0.5；r={}； Do[
For[i=1，i〈=300，i++， x0=f[u，x0]；
If[I]100，r=Append[r，{u，x0}]] ]，
{u，3.0，4.0，0.01}]； ListPlot[r]
为了获得更细致的图形，可将α的步长再缩少。不过，由于循环次数较多，运行程序时，需要耐心地等待，一般要等数十分钟。
Feignbaum图对于分析函数f（x）=αx（1-x）的迭代行为非常有用。从图4.5中可以看出：较左部分是一些清晰的曲线段，这说明对该范围内的任一α值而言，当迭代进行到100次以后，迭代所得的xn只取有限的几个值，表明迭代序列构成了一个循环，其周期等于竖直的直线与图形交点个数；从左到右，每一段曲线到一定位置同时一分为二，表明迭代序列的循环周期再这些位置处增长了一倍，因而曲线的这种分叉，被称为倍周期分支，有时也叫Pitch-Fork分支；随着α的增长，出现分支位置的间隔越来越少，大约在α=3.57左右，分支数已看不清楚，这是便出现了混沌，由此向右的区域被称为混沌区域，但是并非对所有大于3.57的a,函数迭代都出现混沌,在图中可看到,混沌区域中有一些空白带,这些
空白带由若干段曲线构成,说明对于相应的a,迭代出现周期循环,因此这些空白 带成为混沌区域中的周期窗口.例如当a=3.84时,迭代序列出现了周期为3的循环, 因此对应于a在3.84附近的区域就是一个周期为3的循环窗口.
练习9 在混沌区域中,还存在着其他的循环窗口,你能否找出?并通过计算 验证你的结论.
2.6 对Logistic映射的进一步讨论
为讨论方便,我们称使迭代函数的一阶导数为0的点为临界点.对于Logistic 映射,通过简单的计算知,不管a是什么数,其临界点的皆为x=0.5,记
fn(x)=f(f(f…..(f(x)))) (其中右端有n 个f)
则有
fn(x1)=xn+1 与
fn(x1)=f(xn)f(xn-1)?f(x1).
若x1,x2,?xn+1是一周期为n的循环,且序列中出现0.5,则由fn(x1)=0
知该循环是超稳定的,既(0,1)中的任一点x0都是它的预周期点,且以x0为出值 进行迭代,收敛到该循环的速度超过指数增长的速度.
练习10 取初值为0.5,当a=3.5时,将得到一个周期为4的循环,该循环序列中含有0.5,实验证之.又问:以(0,1)内任一数为初值,是否都能得到这个循环? 其收敛速度与迭代次数间有何关系?
将n(0.5)视为a 的函数,在以a为横坐标,x为纵坐标的图上画出f1(0.5), f2(0.5),f3(0.5),f4(0.5),f5(0.5)的图形见图4.6,
练习11 分析图4.6,你会发现一些什么样的结论?并说明理由, 图4.6 n=1,2,3,4,5是,fn(0.5)的图形 2.7二维迭代与分形
我们称由两个二元函数f(x,y)与g(x,y)取初值(x0,y0)构成的迭代 {xn+1=f(xn,yn), yn+1=g(xn,yn) 为一个二维迭代.
二维迭代产生的序列也存在收敛性问题,但一般来说要比一元函数产生的迭代
序列的收敛性复杂的多.我们通常借助于图形进行观察,这种图形由二维点列(xn,yn)构成, 亦即二维散点图,
例1 由函数f(x,y)=y-sinx与g(x,y)=3.1-x取初值为(一。2,0)构成的迭代,可通过 下面的程序获得其散点图: a=3.1;
xn=1.2;yn=0;g={{xn,yn}}; For[n=1,n<=100,n++,
XN=xn,yN=yn;
Xn=yN-Sin[xN];yn=a-xN; G=Append[g,{xn,yn}];];
ListPlot[g,AspectRatio->Automatic]
运行后得到图4.7,
虽然从图4.7中不能断定该序列是否收敛,但我们却发现这个图形本身非常 有特点,它由四个形状相似的小图形构成,这些小图形之间经过旋转,折叠后 图4.7 二维迭代散点图(之一) 能够相互重合,数学上称这类图形为分形图,
“分形”一词是在1975年由美国IBM公司数学家Benoit B,Mandelbrot首先提出来的. 它含有”碎化,分裂”之意,1982年Mandelbrot给分形下了一个通俗的定义:组成部分以某方式 与整体相似的形体叫分形,分形的两个最基本的性质是:比例性和置换不变性,比。比例性指的是在一定表度范围内显微放大任何部分其不规则程度相同;而置换不变性是指每一部分经移位,旋转,缩放后与其他任意部位相似,自然界许多物体,如植物,云团,雪花等都具有分形的性质,
科学家们猜测:自然界这些复杂的结构有可能是像二维迭代那样由简单的规律产生的,
例2 由函数f(x,y)=y-sgnxbx?c与g(x,y)=a-x构成的二维迭代称为Martin迭代. 现观察其当a=45,b=2,c=-300时,取初值为(0,0)所得到的二维迭代散点图,
将例1的程序修改为: a=45;b=2;c=-300; xn=0;yn=0;g={{0,0}}; For{n=1,n<=5000,n++, XN=xn;yN=yn;
Xn=yN-Sign[xN]*N[Sqrt[Abs[b*xN-c]]];
Yn=a-xN;
G=Append[g,{xn,yn}];];
ListPlot[g,PlotStyle->RGBColor[1,0,0], AspectRatio->Automatic] 运行该程序,得到图4.8
图4.6 二维迭代散点图(之二)
该图形是著名的Martin图形的初期状态,随着迭代次数的提高,图形将会发生奇妙的变化. 练习12 对例2,试着提高迭代次数至26000,28000,100000,500000等观察图形有什么变化. 练习13 取参数a,b,c为其他的值回得到什么图形?参考表4.4 表4.4 Martin。迭代参数表 a -1000 0.4 90 10 b 0.1 1 30 -10 c -10 0 10 100 a -200 -137 10 b -4 17 100 C -80 4 -10 §3 本实验涉及的Mathematica软件语句说明 1. D[f[x],x]/.x->x0
F(x)在x0处的导数
2. g1=Plot[f[x],{x,-10,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0], DisplayFunction->Identity]
将g1定义为一个图形,该图形是f(x)在{-10,20}上的一段曲线弧(由
{x,-10,20}说明),语句PlotStyle->RGBColor{1,0,0}说明图形为红色,而语句 DisplayFunction->Identity使它不显示于屏幕. 3. r0=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Line[??]}] 表示r0为蓝色的图形（折线）， 4．r =Append[r，Graphics[?]
表明r是一图形集（由Graphics[?]定义），如此定义的r必须要有初值， 本实验中r的初值为空图，即r={}。
5．Show[g，DisplayFunction—>$DisplayFunction] 显示已定义的函数目标的图形g。
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