2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是

( )

图4-1

A.22 B.24- C.22+ 是

D.20+ ( )

2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积

图4-2

A.

+π

B.

+ π

C.4+ π

D. + π

3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为A.

B.

C.3 D.2

,则该正方体的棱长为

( )

4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为 ( )

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A.

B.2 C.6 D.2

5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆

成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为 ( )

图4-4

A.2 cm B. cm

C. cm D. cm

6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为( )

图4-5

A. B. C.

D. 二、填空题(每小题5分,共10分)

7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为 .

8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0

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图4-6

三、解答题(共48分)

9.(12分)如图4-7,在直角△ABC中,∠BAC=60°,点F在斜边AB上,且AB=4AF,D,E是平面ABC同一侧的两点, AD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,AD=3,AC=BE=4. (1)求证:平面CDF⊥平面CEF;

(2)若M是线段CB的中点,求异面直线CF与EM所成角的余弦值.

图4-7

10.(12分)如图4-8所示,在多面体ABD-A1B1C1D1中,四边形A1B1C1D1,ADD1A1,ABB1A1均为正方形,点M是BD的中点,点H在C1M上,且A1H与平面ABD所成角的正弦值为 . (1)证明:B1D1∥平面BC1D; (2)求二面角A-A1H-B的大小.

图4-8

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11.(12分)在如图4-9所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.

(1)在线段AB(含端点)上是否存在一点P,使得FP∥平面AED?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

(2)求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.

图4-9

12.(12分)如图4-10(1),正方形ABCD的边长为4,AB=AE=BF= EF,AB∥EF,把四边形ABCD沿AB折起,使得AD⊥底面AEFB,G是EF的中点,连接BG,如图4-10(2). (1)求证:AG⊥平面BCE; (2)求二面角C-AE-F的余弦值.

(1) (2)

图4-10

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