全国初中数学竞赛模拟试题4

全国初中数学竞赛模拟试题（四）

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题（本题满分30分，每小题5分）

1．99个连续自然数之和等于abcd．若a、b、c、d皆为质数，则a＋b＋c＋d的最小值等于

（A）63

（B）70

（C）86

（D）97

（ ）

2．设P、Q分别是单位正方形BC、CD边上的点，且△APQ是正三角形，那么正三角形

的边长为（ ） （A）6－2

（B）

6＋2 35＋2 3（C）5－2 （D）

3．实数a、b、c两两不等，且三点的坐标分别为：A（a＋b，c），B（b＋c，a），C（c

＋a，b），则这三点的位置关系是（ ） （A）组成钝角三角形 （C）组成等边三角形

（B）组成直角三角形 （D）三点共线

l64．对任意给定的△ABC，设它的周长为l，外接圆半径为R，内切圆的半径为r，则（ ）

（A）l＞R＋r

（B）l≤R＋r

（C）＜R＋r＜6l （D）以上均不对

5．平面上有P、Q两点，以P为外心、Q为内心的三角形的数量为（ ）

（A）只能画出一个（B）可以画出2个（C）最多画出3个（D）能画无数个

6．如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各

横排两个，中间竖排若干个，则k的值为

（A）6 （B）8 （C）10 （D）12 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）

1．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC∶AB＝1∶2，MN∥BD且平分AC．若梯形ABCD的面积等于ab，S△AMN＝ba，则ab＋ba＝__________．

1 3 2 … …

（ ）

4 D N C

2．不等式｜x＋7｜－｜x－2｜＜3的解是____________． 3．若自然数n能使［

A

M B

n］整除n，则n的所有表达式为_____________．

4．小李用5000元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取2000元用于购物，把

剩下的钱又买了这种一年期债券，若这种债券的利率不变，到期后得本利和为3498元，那么这种债券的年利率是__________．

5．圆内接凸四边形ABCD的边AB∶BC∶CD∶DA＝1∶9∶9∶8，AC交BD于P，则

S△PAB∶S△PBC∶S△PCD∶S△PDA＝____________． 6．销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少

m．为了使该商品的销售总150金额最大，那么m的值应该确定为____________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．如图，∠CAB＝∠ABD＝90o，AB＝AC＋BD，AD交BC于P，作⊙P使其与AB相

切．试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明．

D

C P

B A O

2．设α、β是整系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，且α2＋β2＜4，试求整数对（a，b）

的所有可能值．

3．a、b、c为互不相等的数，若以下三个等式中有任意两个等式成立，求证：第三个等式

也成立． 22222

(b＋bc＋c)x－bc(b＋c)x＋bc＝0； 22222

(c＋ca＋a)x－ca(c＋a)x＋ca＝0； 22222

(a＋ab＋b)x－ab(a＋b)x＋ab＝0．