（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2
x （D）y?1 x四．函数的奇偶性
定义：若f??x???f?x?，或者f??x??f?x??0，则称f?x?为奇函数。 若f??x??f?x?，则称f?x?为偶函数。
f?x?有奇偶性的前提条件：定义域必须关于原点对称。
结论：
常见的偶函数：f?x??x常见的奇函数：f?x??x2n，f?x??x，f?x??cosx，f?x??a?ax?x等等。
kx?x，f?x??sinx，f?x??a?a， xax111?x?1?2f?x??x?，f?x???x，f?x??loga??，f?x??logax?1?x等等。
a?122a?1?x?1?2n?1 ，f?x??kx，f?x????结论：
奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶
奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 偶+常数=偶 奇+常数=非奇非偶 因为f??x???f?x?为奇函数，f??x??f?x?为偶函数，所以可以把奇函数看作是“负号”，把偶函数看作是“正号”，则有助于记忆。
题型一：判断函数的奇偶性：
1.图像法.
例25：画出函数 f(x)?5 的图象并判断函数f(x)的奇偶性 2．定义法：
例26：判断函数f(x)?1?x2?
3．结论法
x2?1的奇偶性 12011f(x)?x??x的奇偶性 例27：判断函数
x题型二：已知函数奇偶性的求解问题
2例28：已知函数y?f(x)为定义在R上的奇函数，且当x?0时f(x)?x?2x?3，求 f(x) 的解析式
2例29：已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)?x?4x，那么，不等式f(x?2)?5的解
集是_______
?2x?b例30：已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数.则a? .b
2?a真题：【2013?辽宁文，6】6．若函数f?x??x为奇函数，则a? ．
?2x?1??x?a?2【2015，新课标】若函数f(x)＝xln(x＋a?x)为偶函数，则a＝ 2x?1【2015高考山东文8】若函数f(x)?x是奇函数，则使（fx）?3成立的x的取值范围为
2?a（2016年天津高考）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(??,0)上单调递增，若实数a满足
- 6 -
f(2|a?1|)?f(?2)，则a的取值范围是（ ）
（A）(??,)
12
（B）(??,)?(,??) （C）(,) （D）(,??)
?x1232132232【2017年山东卷第14题】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x?[?3,0]时,f(x)?6,则f(919)= .
【2017年天津卷第6题】已知奇函数f(x)在R上是增函数.若
1a??f(log2),b?f(log24.1),c?f(20.8)，则a,b,c的大小关系为
5（A）a?b?c（B）b?a?c（C）c?b?a（D）c?a?b
1xx【2017年北京卷第5题】已知函数f(x)?3?()，则f(x)
3（A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数 （C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是增函数
题型三：f?x??g?x??c，其中g?x?为奇函数，c为常数，则：f??a??f?a??2c
例31：已知?(x),?(x)都是奇函数，且f(x)??(x)??(x)?2在x??1,3?的最大值是8，则f(x)在
x???3,?1?的最 值是 2?x?1??sinx真题：【2012高考新课标文16】设函数f?x??的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
x2?1【2011广东文12】设函数f(x)?xcosx?1．若f(a)?11，则f(?a)? ．
【2013重庆高考文科 9】已知函数f(x)?ax?bsinx?4(a,b?R)，f(lg(log210))?5，则f(lg(lg2))?
A.?5 B.?1 C.3 D.4
【2013高考文 7】已知函数f(x)?ln(1?9x2?3x)?1，则f(lg2)?f(lg)?（ ） A.3312?1B.0C.1D.2
题型四：利用奇偶性和周期性求函数值的问题
?例32：设f(x)是定义在R上的奇函数，当x??时，f(x)??x?x，则f(?)?( )．
5例33：设f?x?是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f?x??2x?1?x?，则f(?)?
2真题：（2016年四川高考）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0 -23 （2016年山东高考）已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)； - 7 - 当x＞ 111时，f(x+)=f(x—).则f(6)= 222（A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2 ?x?a,?1?x?0,?（2016年江苏省高考）设（fx）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1,1)上，f(x)??2 ?x,0?x?1,?5?其中a?R. 若f(?)?f() ，则f(5a)的值是 ▲ . 【2017年山东卷第14题】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x?[?3,0]时,f(x)?6,则f(919)= . ?x5292五．函数的单调性 定义：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 定义变形：若对任意x1?x2,都有f?x1??f?x2??0，则f?x?为单调递减函数 x1?x2题型一：判断函数的单调性 1.图像法. 例34：画出函数f?x??x?2x的图像并判断函数的单调性 . 2例35：画出函数f?x??xx?2的单调递增区间为___________. 2.定义法： 证明方法步骤：1.设值 2.作差（作商） 3.化简 4.定号 5.结论 例36：判断函数y?x?4在在?0,2?上的单调性 x23.结论法 复合函数的单调性：同增异减 例37：写出函数f(x)?log1(?x?4x?3)的单调递增区间 24.导数法 例38：函数f(x)?lnx?真题： 【2011?重庆理，5】下列区间中，函数f(x)?ln(2?x)在其上为增函数的是( )． 1?3的单调区间 x A．(??,1] B．??1,? C．[0,) D．[1,2) 32??4??3 - 8 - 【2009浙江文】若函数f(x)?x?2a(a?R)，则下列结论正确的是（ ） xA．?a?R，f(x)在(0,??)上是增函数 B．?a?R，f(x)在(0,??)上是减函数 C．?a?R，f(x)是偶函数 D．?a?R，f(x)是奇函数 【2015高考四川，文15】已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m＝ f(x1)?f(x2)g(x1)?g(x2)，n＝，现有如下命题： x1?x2x1?x2③ 于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0； ②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 题型二：已知函数单调性求参数范围的问题 例39：设定义在??2,2?上的偶函数f?x?在区间?0,2?上单调递减，若f?1?m??f?m?，求实数m的取值 范围__________. 例40：已知函数f(x)是定义在R上的偶函数, 且在区间[0,??)单调递增. 若实数a满足 f(log2a)?f(log1a)?2f(1), 则a的取值范围是（ ） 2?1??1?A. [1,2] B. ?0,? C. ?,2? D. (0,2] ?2??2?真题： 【2012大同调研】已知定义域为R的函数f?x?在?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则： （ ） A．f?6??f?7? B.f?6??f?9? C.f?7??f?9? D.f?7??f?10? 【2012山西】设函数f?x??x，若0???3?2时，f?mcos???f?1?m??0恒成立，则实数m的取值范 围为__________. 【2015新课标2文】设函数f(x)?ln(1?|x|)?（ ） A．?,1? B．???,?U?1,??? C．??,? D．???,??U?,??? 1,则使得f(x)?f(2x?1)成立的x的取值范围是1?x2?1??3???1?3??11??33???1??13??3??题型三：分段函数的单调性问题： ?21?x?a?2,x?1【2013惠州调研】已知函数f?x???，若f?x?在?0,???上单调递增，则实数a的取值2x??a?a,x?1范围为__________. - 9 - ??a?2?x,x?2?x【2013山西四校联考】已知函数f?x????1?满足对任意的实数 ?1,x?2???2???f?x1??f?x2?x1?x2,都有?0成立，则实数a的取值范围为__________. x1?x2 六：函数的周期性 1.定义：周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期． 2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）， (1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数； (2)f?x?a???f?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数； (3)f?x?a???1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数； f?x?(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数； 以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。（可以类比三角函数的图像进行求解） (5)函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)（a?0），若f(x)为奇函数，则其周期为T?4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T?2a． (6)函数y?f(x)?x?R?的图象关于直线x?a和x?b?a?b?都对称，则函数f(x)是以2?b?a?为周期的周期函数； (7)函数y?f(x)?x?R?的图象关于两点A?a,0?、B?b,0??a?b?都对称，则函数f(x)是以2?b?a?为周期的周期函数； (8)函数y?f(x)?x?R?的图象关于A?a,0?和直线x?b?a?b?都对称，则函数f(x)是以4?b?a?为周期的周期函数； 例41：已知函数 f(x) 的定义域为R，且对任意 x?Z，都有f(x)?f(x?1)?f(x?1)。若f(?1)?6，f(1)?7，则 f(2012)?f(?2012)? . - 10 -
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