第十七讲 整数型计算综合提高
一、多位数计算
1． 凑整、凑9的思想；
与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×n． 2． 数字和问题：999142L439
二、等差数列
n个91． 等差数列的“配对”思想； 2． 求和公式：
（1） ?首项?末项??项数?2 ； ． （2） 中间项?项数 3． 项数公式：?末项-首项??公差?1．
4． 第n项：首项??n?1??公差．
三、等比数列：
等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为S；
（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；
四、基本公式
1． 平方差公式
a2?b2??a?b??a?b?．
2． 平方求和
12?22?32?L?n2?n??n?1???2n?1?62．
3． 立方求和
13?23?33?L?n3??1?2?L?n? ．
五、整数裂项
n??n?1???n?2?31． 1?2?2?3?3?4?L?n??n?1??2． 1?2?3?2?3?4?3?4?5?L?n??n?1???n?2??
；
n??n?1???n?2???n?3?4．
经典题型
整数数列基本计算 一、
1． 公式型计算； 2． 平方差公式的应用； 3． 整数裂项：
基本裂项：例如1×2、1×2×3等； （1）
高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． （2） 计算技巧 二、
1． 换元思想； 2． 分组思想； 3． 裂项思想；
4． 数论思想在计算中的应用；
例1． （1）888888882?111111112的计算结果是多少？
（2）888142L438?333142L433的计算结果的数字和是多少？
30个830个3「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，再算数字和．
练习1、999999999?999999999的计算结果的数字和是多少？
例2． 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其
中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．
练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，
LL，79），（81，83，LL），那么第8组中所有数的和是多少？
对自然数a和n，规定a?n?an?an?1，例如3?2?32?3?12，那么： 例3．
（1）计算：1?2?2?2?L?30?2； （2）计算：2?1?2?2?L?2?10．
「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．
练习3、对自然数a和n，规定a?n?an?an?1，例如3?3?33?32?36，那么：算式：1?3?2?3?L?30?3的结果是多少？
计算：1?2+(1+2)?4+(1+2+3)?6+(1+2+3+4)?8+L+(1+2+L+20)?40． 例4．
「分析」试着计算几项，寻找一下规律．
1313?2313?23?3313?23?33?L?1003??L?练习4、计算：?．
11?21?2?31?2?3?L?100
计算：1?2?3?4?5?6?L?99?100． 例5．
「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．
计算：1!?3?2!?4?3!?5?4!?6?L?2009!?2011?2010!?2012?2011!?2013?2012! 例6．
「分析」关于阶乘的计算一定牢记：n!??n?1???n?1?!，本题是否有类似计算．
数学史上的一代王者——欧拉
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．
欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．
1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．
欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿 抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．
许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．
1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．
欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．
欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．
作业
1. 333333?333333的计算结果的数字和是多少？
2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5个，乙背单词的数量每天增加1
倍，已知第一天二人共背了33单词，第二天二人共背了40个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？
3. 计算：（1）212?222?232?L?402；（2）22?42?62?L?422；（3）12?32?52L?232，
的结果？
4. 计算：1?39?2?38?3?37?4?36?L?39?1．
5. 已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？
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