（人教版）2020版高考数学一轮复习 第六章 不等式 第1讲 不等式的概念与性质课时作业 理

第1讲 不等式的概念与性质

1．(2017年河北承德实验中学统测)若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式正确的个数是( )

11ab2244

①<；②a>b；③ac>bc；④2>2. abc＋1c＋1A．1 B．2 C．3 D．4

2．(2016年北京)已知x，y∈R，且x>y>0，则( ) 11

A.－>0 B．sin x－sin y>0

xy?1?x?1?yC.??－??<0 D．ln x＋ln y>0 ?2??2?

2332222

3．已知下列不等式：①x＋3>2x；②a＋b≥ab＋ab(a，b∈R＋)；③a＋b≥2(a－b－1)．其中正确的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3 4．(2015年湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )

A．对任意的a，b，e1

B．当a>b时，e1e2 C．对任意的a，b，e1>e2

D．当a>b时，e1>e2；当a

222

5．(2015年上海)记方程①：x＋a1x＋1＝0，方程②：x＋a2x＋2＝0，方程③：x＋a3x＋4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( )

A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根

6．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围为__________． 7．(2016年山东滨州模拟)A杯中有浓度为a的盐水x g，B杯中有浓度为b的盐水y g，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A，B两杯盐水混合在一起，其浓度可用不等式表示为______________．

8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．

9．设a，b为正实数．现有下列命题：

22

①若a－b＝1，则a－b＜1；

11

②若－＝1，则a－b＜1；

2

caba③若|a－b|＝1，则|a－b|＜1；

33

④若|a－b|＝1，则|a－b|＜1.

其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)

10．(2016年湖南怀化模拟)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

1

11a?1b?1??2

2

11．已知a＞0，b＞0，求证：??b??2＋??a??

2≥a2＋b2.

12．已知α∈(0，π)，比较2sin 2α与sin α1－cos α的大小．

2

第1讲 不等式的概念与性质

11

1．A 解析：①a＝1，b＝－1，＜不成立；

ab②a＝1，b＝－1，a＞b 不成立；

44

③c＝0，ac＞bc 不成立； ④因为c＋1＞0，a＞b，所以

＞成立． c＋1c2＋11111

2．C 解析：由x>y>0，得<，即－<0，A不正确；由x>y>0及函数y＝sin x的单

2

2

22

abxyxy1?1?x?1?y?1?调性，可知sin x－sin y>0不一定正确，B不正确；由0<<1，x>y>0，得??

?1?yx－??<0，C正确；由x>y>0，得xy>0，但不一定大于1，故ln x＋ln y＝ln xy>0不一定?2?

成立，D不正确．

22233222

3．D 解析：∵x－2x＋3＝(x－1)＋2>0，∴x＋3>2x.∵a＋b－ab－ab＝(a－b)(a223322222

－b)＝(a＋b)(a－b)≥0，∴a＋b≥ab＋ab.∵a＋b－2(a－b－1)＝(a－1)＋(b＋222

1)≥0，∴a＋b≥2(a－b－1)．

b2b＋m2bb＋m4．B 解析：e1＝1＋2，e2＝1＋化简，得<(m>0)，2.不妨令e1

aa＋maa＋mbb＋mbb＋m得bma时，有>，即e1>e2；当b

aa＋maa＋mB.

a228222

5．B 解析：当方程①有实根，且②无实根时，a1≥4，a2<8，从而a3＝<＝4，∴a3<16，

a12

2

即方程③：x＋a3x＋4＝0无实根．故选B.而A，D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根．

1??6.?－2，－? 解析：因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0.所以b＝－(a＋c)． 2??

又a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0.

a＋cccc所以1>－>，即1>－1－>.

aaaa2c??a<－1，所以?c??a>－2，7．b<

c1

解得－2<<－.

a2

ax＋byax＋byb，将A，B两杯盐水混合后，盐水的浓度变为.x＋yx＋yax＋bybx＋byax＋byax＋ayax＋by则有>＝b，<＝a.故有b<

x＋yx＋yx＋yx＋yx＋y8．6 解析：设有x辆汽车，则货物重为(4x＋20)吨．

8x－1＜4x＋20，??

由题意，得?8x＞4x＋20，

??x∈N*.

*

解得5＜x＜7，且x∈N.故只有x＝6才满足要求．

3

9．①④ 解析：①中，∵a－b＝1，∴a－b＝

2

2

22

1. a＋b∵a＞0，b＞0，又a＝b＋1＞1，

1

∴a＞1.从而＜1，即a－b＜1.

a＋b∴①正确．

5

②中，取a＝5，b＝，验证知②错误．

6

③中，取a＝4，b＝1，验证知③错误． ④∵a，b是正实数，不妨设a＞b>0， 3322

∴a－b＝(a－b)(a＋b＋ab)．

a3－b31

∴a－b＝2. 2＝2

a＋ab＋ba＋ab＋b2

33222

∵a＝1＋b＞1，∴a＞1.∴a＋ab＋b＞1.

1

∴0＜2＜1.

a＋ab＋b2

1

∴0

a＋ab＋b2

同理，设0

*

10．解：设该单位职工有n人(n∈N)，全票价为x元， 坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元．

3134

则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.

4445134

因为y1－y2＝x＋nx－nx

445

111?n?＝x－nx＝x?1－?. 4204?5?当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1y2.

因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．

a3＋b3

11．证明：方法一，左边－右边＝－(a＋b)

ab＝＝

a＋ba＋ba－ab＋b－aba＋b

aba－2 ab＋ba＋ba－b＝

abab2

≥0.

∴原不等式成立．

方法二，左边>0，右边>0. 左边a＋ba－ab＋b＝右边aba＋b＝

a－ab＋b2 ab－ab≥＝1. ababsin α4sin αcos α1－cos α－sin α＝ 1－cos α1－cos α∴原不等式成立． 12．解：2sin 2α－

4

sin αsin α22

(－4cosα＋4cos α－1)＝－(2cos α－1).

1－cos α1－cos α2

∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)≥0.

sin αsin α2

∴－(2cos α－1)≤0，即2sin 2α－≤0.

1－cos α1－cos αsin απ

∴2sin 2α≤，当且仅当α＝时取等号．

1－cos α3＝

5