第1讲 变化率与导数、导数的计算
[基础题组练]
1?π?1．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′??＝( ) x?2?3
A．－2
π3C．－
π
1B．－2
π1D．－
π
111?π?解析：选C.因为f′(x)＝－2cos x＋(－sin x)，所以f(π)＋f′??＝－＋xxπ?2?23
·(－1)＝－. ππ
2．(2019·福州模拟)曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．2 1
C. 2
3B. 21D. 4
1
解析：选D.f′(x)＝1＋，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线
x方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，
?1，0?，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为1×1×1＝1，故选D. ?2?224??
1
3．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
42A．3 C．1
B．2 1
D. 2
x2
x31
解析：选A.因为y′＝－，令y′＝，解得x＝3，即切点的横坐标为3.
2x2
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
解析：选D.由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A、C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故排除B.
523
5．函数g(x)＝x＋x＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为
2( )
7A. 23C. 2
57
解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋＋b＝＋b，
2232
又g′(x)＝3x＋5x＋，
5B. 21D. 2
x所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y＝11x－5，
7?7?由于点?1，＋b?在切线上，所以＋b＝11－5， 2?2?5
解得b＝.故选B.
2
6．已知f(x)＝ax＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝________． 解析：因为f′(x)＝4ax－bsin x＋7， 所以f′(－x)＝4a(－x)－bsin(－x)＋7 ＝－4ax＋bsin x＋7. 所以f′(x)＋f′(－x)＝14. 又f′(2 018)＝6，
所以f′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：8
3
33
4
7．(2019·广州市调研测试)若过点A(a，0)作曲线C：y＝xe的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．
解析：设切点坐标为(x0，x0ex0)，y′＝(x＋1)e，y′|x＝x0＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0)，将点A(a，0)代入可得－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，化简，得x0－ax0－a＝0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x0－ax0－a＝0有两个不同的解，则有Δ＝a＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)
8．(2019·南昌第一次模拟)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且
2
2
2
xxf(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋e， 所以f′(x)＝1＋e，所以f′(1)＝1＋e＝1＋e. 答案：1＋e
9．已知函数f(x)＝x＋(1－a)x－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得?
?f（0）＝b＝0，?
2
3
2
xx1
??f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)＋12a(a＋2)>0， 即4a＋4a＋1>0， 1
所以a≠－. 2
1??1??所以a的取值范围为?－∞，－?∪?－，＋∞?. 2??2??10．已知函数f(x)＝x＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； 1
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
4解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． 因为f′(x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1.
3
2
3
2
2
2
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x0＋1， 所以直线l的方程为
3
y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16，
2
又因为直线l过点(0，0)，
所以0＝(3x0＋1)(－x0)＋x0＋x0－16， 整理得，x0＝－8， 所以x0＝－2，
所以y0＝(－2)＋(－2)－16＝－26，
3
32
3
k＝3×(－2)2＋1＝13.
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 1
(3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，
4所以切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x0＋1＝4， 所以x0＝±1.
???x0＝1，?x0＝－1，所以?或?
?y0＝－14??y0＝－18，?
2
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.
[综合题组练]
1．(应用型)在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－
a8)，则f′(0)＝( )
A．2 C．2
126
B．2 D．2
15
9
解析：选C.因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－
a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝8＝2.故选C. 2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
2
412
?1?A.?－，＋∞? ?2?
C．(0，＋∞)
2
1
B．[－，＋∞)
2D．[0，＋∞)
12ax＋1
解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以
xx12
2ax＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－2(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，
x＋∞)．故选D.
3．(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离是________．
解析：设M(x0，ln(2x0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M点处的切线与直线2x－y＋8＝0平行时，M点到直线的距离即为曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离．
因为y′＝
22，所以＝2，解得x0＝1，所以M(1，0)．记点M到直线2x－y＋82x－12x0－1
|2＋8|
＝0的距离为d，则d＝＝25.
4＋1
答案：25
92
4．设有抛物线C：y＝－x＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
2(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标． 9
解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，
2则y1＝kx1，①
y1＝－x21＋x1－4，②
9
－2x1＋＝k，③
2
联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)． 1
所以k＝.
2
(2)过P点作切线的垂线， 其方程为y＝－2x＋5.④
92
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