中北大学2014届毕业论文
应用Mallat算法进行小波分解，而无须具体给出尺度函数?和小波函数?，这就是Mallat算法之所以能够广泛、快捷应用的原因。
3.2 稀疏表示理论
在介绍稀疏表示理论[19,20]之前，我们先对一些基本概念进行描述： 稀疏信号(Sparse Signal)的定义：若信号x只有有限个(比如K个)非零采样点，而其它采样点均为0，则称信号X是K稀疏的。
实际中，通常时域内的自然信号都是非稀疏的，严格稀疏的信号很少，尽管有位置的值很小，但不一定等于零，于是引入可压缩信号(Compressible Signal)的概念。
可压缩信号的定义：如果某一信号在不丢失任何信息的条件下通过某种变换，可以得到稀疏信号，也就是说信号在某些变换域是稀疏的，则我们称之为可压缩信号。
近年来，随着现代传感器技术的发展，许多领域面临着日益膨胀的大量数据，如地震数据、地球物理数据、工业控制数据、音频数据、天文数据、基因数据等。
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如何实现对这些数据更为灵活、简洁和自适应的表达已成为一个倍受关注的问题
[21]
。
通常，信号的分解变换是根据信号本身的特点，通过如傅立叶变换、短时傅
立叶变换、离散余弦变换、小波变换等，将信号分解在一组完备的正交基上，从而在这些变换域上表达原始信号，这就是信号的表示。它们共同的特点就是给定信号的表示形式唯一，一旦信号的特性与基函数不完全匹配，那么所获得的分解结果就不一定是信号的稀疏表示了。因此，寻求新的信号稀疏表示方法必将带来信号表示的深刻变革。
1993年，在小波分析理论的基础上，Mallat和Zhang率先提出了信号基于过完备原子库上的分解思想，通过信号在过完备库(over．complete dictionary)上的分解，用来表示信号的基可以自适应地根据信号本身特点灵活选取[22]。分解的结果，将可以得到一个非常简洁的表达。这种在变换域用尽量少的基函数来准确地表示原始信号，就是信号的稀疏表示(Sparse Representation)。它开创了信号的稀疏表示这一信号分析的新方向。
由于信号的稀疏表示的优良特性，信号稀疏表示的研究很快从一维信号推广到二维图像表示研究上，并表现出极大的优越性。尤其是近年来在数学和工程领域同时兴起的压缩传感与稀疏表示理论，使得稀疏表示理论的研究和应用越来越引起众多人士的重视。
信号的稀疏表示算法研究最早可以追溯到1982年，Huber在统计回归领域时首次提出了投影追踪法。如今，信号的稀琉表示越来越表现出它的优越性，尤其是近年来压缩传感理论的提出，压缩传感与稀疏表示理论研究引起了众多人士的关注。首先介绍一下压缩传感与稀疏表示的理论[23]。
近两年诞生了一种新的压缩传感(Compressive／Compressed Sensing)理论，该方法在获取信号同时，对数据进行适当压缩，优点就是针对可稀疏表示的信号，将传统的数据采集与数据压缩合二为一。由于压缩传感理论的提出，稀疏表示越来越表现出它的优越性，许多人将目光投向这个领域，并进行了大量的研究。下面介绍压缩传感与稀疏表示的过程[20,23]。
压缩传感核心是线性测量过程．设x(n)为传统采样得到的数字信号，长度为
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N，而通过压缩传感则可直接得到y(m)，长度为M。它们的关系是y??x。?为表示，记为x??s。s(n)为K-稀疏的(只有K个非零元)，则测量过程可以重新写为y??s，其中????为M?N矩阵。我们无法直接从y(m)恢复出x(n)我们可通过求解下列优化问题得到原信号x(n)在T变换域内的稀疏形式s?n?：
minssl s.t.?s?y （3-13）
我们称之为基于压缩传感的稀疏表示，实质是信号重构过程。 下图为压缩传感过程：
目前该领域的研究工作主要集中在传感矩阵与重构算法的构造等理论层面： 1、传感矩阵的构造方面：
（1） 传感矩阵?需具备的充分条件，即一致不确定性原理(Uniform Uncertainty Principle，UUP)。 对任意的K-稀疏向量x，如果
0.8M2M22x2??x2?1.2x2 (3-14) NN则称?M?N遵循集合大小为K的一致不确定原理，而且传感矩阵的行数M与信号稀疏度K之间须满足M≥K·log(N)。
在所有给定大小的随机矩阵中选择满足UUP特征的矩阵是NP组合难问题，计算量太大，目前采用较多的是高斯矩阵和贝努利矩阵，它们已被验证满足UUP特征。
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(2) Donoho从定性和定量的角度给出了测量矩阵?所要满足的三个特征：①测量矩阵的列向量须满足一定的线性独立性；②测量矩阵的列向量体现某种类似噪声的独立随机性；③满足稀疏度的解是满足ll范数最小的向量。
2、重构算法方面
在前面的稀疏表示的国内外研究现状中，我们提出了几种由稀疏表示形成的重构算法[24]。大体上，重构算法可粗略地归纳为以下三类：针对f0范数最小提出的一系列贪婪算法，针对fl范数最小提出的线性规划最优化算法，以及统计优化重构算法。目前常用的重构算法主要是匹配追踪算法及改进算法，另外也在尝试梯度投影等多种凸优化算法。
mins0 s.t.?s?y是针对l0范数最小的重构算法，它是一个NP难问题，所
s以很多算法都是针对mins0 s.t.y??s2??提出的，均为贪婪算法。比如OMP
s算法?16?、正则化正交匹配追踪?17?、最优正交匹配追踪(Optimized Orthogonal Matching Pursuit，OOMP)、?18?稀疏自适应匹配追踪?19?。针对ll范数最小的重构算法可以解决NP难问题，将NP难问题转化为求解线性规划最优化问题。比如基追踪算法(Basis Pursuit，BP)?20?、梯度投影稀疏重构(Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR)?21?等。
另外，以Sparse Bayesian为代表的统计优化算法也在应用，其性能介于两 者之间。
比较经典的重构算法有：MP算法、基于匹配追踪方法（BMP）、正交匹配追踪法（OMP）以及其他方法。
虽然有以上重构算法提出，并且这些算法能够重构出信号，但缺乏严格的理论基础，收敛性也不能保证，而且有的算法速度很慢。因此构造稳定的，收敛性强的算法是当前压缩传感急需解决的问题。 3.3 基于稀疏表示的图像去噪模型
本节建立了一种基于稀疏表示的小波去噪模型。将小波去噪的问题转化为一个最优化问题，并通过求解该问题，得到不含噪声的小波系数，恢复小波系数的
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