（Ⅰ）求过点O、F，并且与x??2相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。
解：(I) ∵a=2，b=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2. ∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-设M(-2
2
1上 2113,t)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|= 222 由|OM|=r，得(?)?t1222?3，解得t=±2， 2∴所求圆的方程为(x+1229)+(y±2)=. 24(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0, 设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
x22
代入+y=1，整理得
2(1+2k)x+4kx+2k-2=0
∵直线AB过椭圆的左焦点F， ∴方程一定有两个不等实根,
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，
2
2
2
2
4k2则x1+x1=-, 22k?112k2x0?(x1?x2)??2,
22k?1y0?k(x0?1)?k2k?12
∴AB垂直平分线NG的方程为
1y?y0??(x?x0)
k令y=0，得
2k2k2 xC?x0?ky0??2?2k?12k2?1k211 ??2???22k?124k?2∵k?0,??1?xc?0. 21。 ,0）2∴点G横坐标的取值范围为（?技巧提示：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。
x2y231练习1：已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(1,)，且离心率e?。
22ab （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(,0)，求k的取值范围。 18
分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到a,b的关系式，再根据“过点(1,)”得到
32
a,b的第2个关系式，解方程组，就可以解出a,b的值，确定椭圆方程。
第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出k,m的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点G(,0)，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得k,m的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。
18b2131解：（Ⅰ）?离心率e?，?2?1??，即4b2?3a2（1）；
a442又椭圆过点(1,)，则
321922（1）式代入上式，解得a?4，b?3，椭圆方程为??1，22a4bx2y2??1。 43（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，弦MN的中点A(x0,y0) ?y?kx?m222由?2得：(3?4k)x?8mkx?4m?12?0， 2?3x?4y?12?直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点， ???64m2k2?4(3?4k2)(4m2?12)?0，即m2?4k2?3??????（1）
8mk4m2?12,x1x2?由韦达定理得：x1?x2??， 223?4k3?4k4mk4mk23m,y?kx?m???m?则x0??， 003?4k23?4k23?4k2直线AG的斜率为：KAG3m224m3?4k， ??4mk1?32mk?3?4k2??23?4k83?4k224m由直线AG和直线MN垂直可得：，代入（1）?k??1，即m??8k?32mk?3?4k23?4k22551或k??)?4k2?3，即k2?式，可得(，则k?。 10108k20老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：y?kx?m，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门
路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。 练习2、设F1、F2分别是椭圆
x2y2??1的左右焦点．是否存在过点A(5,0)的直线l与椭54圆交于不同的两点C、D，使得F2C?F2D？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
分析：由F2C?F2D得，点C、D关于过F2的直线对称，由直线l过的定点A(5,0)不在x2y2??1的内部，可以设直线l的方程为：54y?k(x?5)，联立方程组，得一元二次方
程，根据判别式，得出斜率k的取值范围，由韦达定理得弦CD的中点M的坐标，由点M和点F1的坐标，得斜率为?1，解出k值，看是否在判别式的取值范围内。 k解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。设直线l的方程为：y?k(x?5),(k?0)，C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点M(x0,y0)。 由??y?k(x?5)2222(4?5k)x?50kx?125k?20?0， 得：22?4x?5y?202222又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，则?=(50k)?4(4?5k)(125k?20)?0，即
0?k2?1。 550k2125k2?20,x1x2?由韦达定理得：x1?x2?， 4?5k24?5k2x1?x225k225k2?20k25k2?,y0?k(x0?5)?k(?5)?则x0?，M(，222224?5k4?5k4?5k4?5k?20k)。 24?5k又点F2(1,0)，则直线MF2的斜率为kMF220k25k4?5k， ??25k21?5k2?14?5k2?5k2??1，此方程无解，即k不存在，也就是不根据CD?MF2得：kMF2?k??1，即
1?5k2
相关推荐：
loading