高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题

第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理

【知识要点】

在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题

“存在称为不等式的双存在性问．．．x1?(a,b)，存在．．x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立”．题，存在．．x1?(a,b)，存在．．x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立，即f(x)在区间(a,b)内至少有一个值小.，即f(x)min?g(x)max.．．．．．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的一个函数值．．．．．（见下图1）

“存在，即在区间(a,b)内至少有．．x1?(a,b)，存在．．x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立”．．．一个值大，即f(x)max?g(x)min.（见下图．．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的一个函数值．．．．．2）

2、双任意性问题

“任意的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立” 称为不等式的双任意．．x1?(a,b)，对任意．．性问题. 任意的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立，即f(x)在区间．．x1?(a,b)，对任意．．意一个值意一个函数值都要小，即(a,b)任．．．．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的任．．

f(x)max?g(x)min.

“任意的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立”，即f(x)在区间．．x1?(a,b)，对任意．． (a,b)内任意一．．．

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个值一个函数值都要大,即f(x)min?g(x)max. ．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的任意．．3、存在任意性问题

“存在的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立” 称为不等式的存在任．．x1?(a,b)，对任意．．意性问题. 存在的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立，即f(x)在区．．x1?(a,b)，对任意．．间(a,b)内至少有一个值一个函数值都要小，即．．．．．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的任意．．

f(x)min?g(x)min. （见下图3）

“存在对任意的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立”，即f(x)在区间(a,b)．．x1?(a,b)，．．内至少有一个值意一个函数值都要大，即．．．．．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的任．．

f(x)max?g(x)max.（见下图4）

【方法讲评】 题型一 使用情景 双存在性问题 不等式中的两个自变量属性都是存在性的. 存在．．x1?(a,b)，存在．．x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立” 称为不等式的双存在性问题，存在．．x1?(a,b)，存在．．x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立，解题理论 即f(x)在区间(a,b)内至少有一个值．．．．．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的一．个函数值小，即f(x)min?g(x)max. ．．．．“存在，即在区间．．x1?(a,b)，存在．．x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立”2 / 10

大，即(a,b)内至少有一个值．．．．．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的一个函数值．．．．．f(x)max?g(x)min. 【例1】已知函数f?x??4lnx?ax?（Ⅰ）讨论f?x?的单调性；

?1?（Ⅱ）当a?1时，设g?x??2ex?4x?2a，若存在x1，x2??，2?，使f?x1??g?x2?，求

?2?a?3?a?0?. x实数a的取值范围.（e为自然对数的底数，e?271828L）

当0?a?1时，??0，x1?x2?2???a?1??a?4?a4a?3?0，x1?x2??0 aax1??0,x2?2???a?1??a?4?a?0

当x??0，x1?时，h?x??0，f?x?单调递减， 当x??x1，x2?时，h?x??0，f?x?单调递增， 当x??x2，???时，h?x??0，f?x?单调递减，

3???3?所以当a?0时，f?x?的减区间为?0，?，增区间?，???.

4???4?当a?1时，f?x?的减区间为?0，???.

??2???a?1??a?4???2???a?1??a?4??，?，??? 当0?a?1时，f?x?的减区间为?0，????aa?????2???a?1??a?4?2???a?1??a?4???. ，增区间为???aa???1?（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f?x?在?，2?上的最大值为

?2?3?1?f????4ln2?a?6，

2?2?3 / 10

g?x??2ex?4，令g?x??0，得x?ln2. ?1?x??，ln2?时，g?x??0，g?x?单调递减， ?2?x??ln2，2?，g?x??0，g?x?单调递增，

?1?所以g?x?在?，2?上的最小值为g?ln2??4?4ln2?2a，

?2?3由题意可知?4ln2?a?6?4?4ln2?2a，解得a?4, 所以1?a?4.

2【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反. 【反馈检测1】设函数f(x)?(x?ax?b)e(x?R)，

（1）若x?1是函数f(x)的一个极值点，试求出b关于a的关系式（用a表示b）,并确定

2xf(x)的单调区间；

（2）在（1）的条件下，设a?0，函数g(x)?(a?14)e2x?4，若存在?1,?2?[0,4]使得

|f(?1)?g(?2)|?1成立，求a的取值范围.

题型二 使用情景 双任意性问题 不等式的两个自变量属性都是任意的. “任意的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立” 称为不．．x1?(a,b)，对任意．．等式的双任意性问题. 任的x2?(c,d)，使得．意．x1?(a,b)，对任．意．f(x1)?g(x2)成立，即f(x)在区间(a,b)任意一个值．．．．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的任意一个函数值都要小，即f(x)max?g(x)min. ．．解题理论 “任意对任意的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立”，即f(x)．．x1?(a,b)，．．在区间 一个函数值都要(a,b)内任意一个值．．．．．f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的任意．．大,即 f(x)min?g(x)max. 4 / 10