.解析几何
.已知椭圆：＋＝(>>)的离心率为，且过点. ()求椭圆的方程；
()若直线与椭圆交于，两点(点，均在第一象限)，且直线，，的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值. ()解 由题意可得解得 故椭圆的方程为＋＝.
()证明 由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为＝＋(≠)， 由消去，
整理得(＋)＋＋(－)＝， ∵直线与椭圆交于两点， ∴Δ＝－(＋)(－)＝(－＋)>. 设点，的坐标分别为(，)，(，)， 则＋＝，＝，
∴＝(＋)(＋)＝＋(＋)＋. ∵直线，，的斜率成等比数列， ∴＝·＝， 整理得(＋)＋＝， ∴＋＝， 又≠，∴＝，
结合图象(图略)可知＝－，故直线的斜率为定值.
.已知抛物线Γ：＝(>)，直线＝与抛物线Γ交于，(点在点的左侧)两点，且＝.
()求抛物线Γ在，两点处的切线方程；
()若直线与抛物线Γ交于，两点，且的中点在线段上，的垂直平分线交轴于点，求△面积的最大值.
解 ()由＝，令＝，得＝±，所以＝，解得＝，所以＝，由＝，得′＝， 故′＝＝.
所以在点的切线方程为－＝(－)，即－－＝，同理可得在点的切线方程为＋＋＝. ()由题意得直线的斜率存在且不为， 故设：＝＋，(，)，(，)，由＝与＝＋联立， 得－－＝，Δ＝＋>， 所以＋＝，＝－， 故＝·＝··.
又＋＝(＋)＋＝＋＝，所以＝－，所以＝··， 由Δ＝＋>，得－<<且≠.
因为的中点坐标为()，所以的垂直平分线方程为－＝－(－)，令＝，得＝， 即()，所以点到直线－＋－＝的距离＝＝， 所以△＝··· · ＝·.
令＋＝，则＝－，则<<， 故△＝·.
设()＝(－)，则′()＝－，结合<<，令′()>，得<<； 令′()<，得<<，所以当＝，即＝±时，(△)＝×＝.
.已知，分别是椭圆：＋＝(>>)的左顶点、右焦点，点为椭圆上一动点，当⊥轴时，＝.
()求椭圆的离心率；
()若椭圆上存在点，使得四边形是平行四边形(点在第一象限)，求直线与的斜率之积； ()记圆：＋＝为椭圆的“关联圆”.若＝，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为，，直线在轴和轴上的截距分别为，，求证：＋为定值. ()解 由⊥轴，知＝，代入椭圆的方程， 得＋＝，解得＝±.
又＝，所以＋＝，所以＋＝，即－－＝， 所以＋－＝， 由<<，解得＝.
()解 因为四边形是平行四边形， 所以＝且∥轴，
所以＝，代入椭圆的方程，解得＝±， 因为点在第一象限，所以＝， 同理可得＝－，＝， 所以＝·＝－，
由()知＝＝，得＝，所以＝－. ()证明 由()知＝＝，又＝，解得＝， 所以椭圆的方程为＋＝， 圆的方程为＋＝.①
连接，(图略)，由题意可知，⊥，⊥， 所以四边形的外接圆是以为直径的圆， 设(，)，则四边形的外接圆方程为＋＝(＋)， 即－＋－＝.②
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