2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）
数学部分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题
1．设复数z满足|z|<1且|z?15|?则|z| ＝ ( ) z24321A????????B????????C????????D? 54322．在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2.则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )
1111A????????B????????C????????D? 368123．已知y?x?x?2x?1，过点(－1, 1)的直线l与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( ) A?2??????B1???????C??1???????D??2
4．若A?B?322?，则cos2A?cos2B的最小值和最大值分别为 ( ) 3A1??33133312?,?????B?,??????C1??,1????????D?,1? 22222222
6．已知异面直线a，b成60°角.A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面 ( )
A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个
7．已知向量a?(0,1),b?(?3131,?),c?(,?),xa?yb?zc?(1,1)则2222x2?y2?z2 的最小值为( )
43A1????????B????????C????????D?2
328．AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且?OFA?135，C为抛物线准线与x轴的交点，则?ACB的正切值为 ( )
A?22???????B?424222???????C????????D? 533
10．一个正11边形用对角线划分为9个三角形，对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）
A. 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B. 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C. 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
二、解答题
12.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处.
（I）若b ＝ 3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
13.已知函数f(x)?2x121，f(1)?1，f()?.令x1?，xn?1?f(xn). ax?b232
(I)求数列{xn}的通项公式；
(II)证明x1x2xn?1?1. 2ex2y214.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0),F1,F2分别为C的左右焦点.P为C右支上一点，
ab且使?F1PF2=?3,又?F1PF2的面积为33a2.
(I)求C的离心率e ；
(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得
?QF2A???QAF2恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率. (I)求p1，p2，p3，p4；
(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.
2011年华约数学参考答案
一、选择题
DBCBB BBADD
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