..
（Ⅱ）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0），
则c=2，a2﹣b2=c2，
+
=1，解得：a2=8，b2=4．
可得椭圆C的方程为+=1；
（Ⅱ）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则
+=1，A（﹣2，0），
AF所在直线方程y=（x+2），
取x=0，得y=，
∴N（0，），
AE所在直线方程为y=（x+2），
取x=0，得y=．
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），
半径r=，
圆的方程为x2+（y﹣取y=0，得x=±2．
）2=
=
，即x2+（y+）2=
．
可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）． 可得在x轴上存在点P（±2，0），
使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．
..
..
21．已知函数f（x）=mex﹣lnx﹣1．
（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求得m=1时，f（x）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；
（Ⅱ）证法一：运用分析法证明，当m≥1时，f（x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明ex﹣lnx﹣2＞0，思路1：设g（x）=ex﹣lnx﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；
思路2：先证明ex≥x+1（x∈R），设h（x）=ex﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；
思路3：先证明ex﹣lnx＞2．：因为曲线y=ex与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB＞2，即可得证；
证法二：因为f（x）=mex﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明mex﹣lnx﹣2＞0．
思路1：设g（x）=mex﹣lnx﹣2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；
思路2：先证明ex≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．设F（x）=ex﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明mex﹣lnx﹣2＞0，运用不等式的性质，即可得证． 【解答】（Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=ex﹣lnx﹣1， 所以
．…
所以f（1）=e﹣1，f'（1）=e﹣1．…
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）． 即y=（e﹣1）x．…
（Ⅱ）证法一：当m≥1时，f（x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1． 要证明f（x）＞1，只需证明ex﹣lnx﹣2＞0．… 以下给出三种思路证明ex﹣lnx﹣2＞0． 思路1：设g（x）=ex﹣lnx﹣2，则
．
..
..
设，则，
在（0，+∞）上单调递增．…
所以函数h（x）=
因为，g'（1）=e﹣1＞0，
所以函数
因为g'（x0）=0时，所以
在（0，+∞）上有唯一零点x0，且
，即lnx0=﹣x0．…
．…
当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0． 所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．… 故
综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．… 思路2：先证明ex≥x+1（x∈R）．… 设h（x）=ex﹣x﹣1，则h'（x）=ex﹣1．
因为当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h'（x）＞0，
所以当x＜0时，函数h（x）单调递减，当x＞0时，函数h（x）单调递增． 所以h（x）≥h（0）=0．
所以ex≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．… 所以要证明ex﹣lnx﹣2＞0， 只需证明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．… 下面证明x﹣lnx﹣1≥0． 设p（x）=x﹣lnx﹣1，则
．
．
当0＜x＜1时，p'（x）＜0，当x＞1时，p'（x）＞0，
所以当0＜x＜1时，函数p（x）单调递减，当x＞1时，函数p（x）单调递增． 所以p（x）≥p（1）=0．
所以x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．… 由于取等号的条件不同， 所以ex﹣lnx﹣2＞0．
综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…
（若考生先放缩lnx，或ex、lnx同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明ex﹣lnx＞2．
因为曲线y=ex与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，
..
..
设直线x=t（t＞0）与曲线y=ex，y=lnx分别交于点A，B， 点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2， 则其中
，
．
（t＞0）．
①设h（t）=et﹣t（t＞0），则h'（t）=et﹣1． 因为t＞0，所以h'（t）=et﹣1＞0．
所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（0）=1． 所以
．
②设g（t）=t﹣lnt（t＞0），则．
因为当0＜t＜1时，g'（t）＜0；当t＞1时，g'（t）＞0，
所以当0＜t＜1时，g（t）=t﹣lnt单调递减；当t＞1时，g（t）=t﹣lnt单调递增． 所以g（t）≥g（1）=1． 所以所以
综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．… 证法二：因为f（x）=mex﹣lnx﹣1，
要证明f（x）＞1，只需证明mex﹣lnx﹣2＞0．… 以下给出两种思路证明mex﹣lnx﹣2＞0． 思路1：设g（x）=mex﹣lnx﹣2，则设
所以函数h（x）=
，则
．
在（0，+∞）上单调递增．…
．
．
．
因为，g'（1）=me﹣1＞0，
所以函数
因为g'（x0）=0，所以
在（0，+∞）上有唯一零点x0，且
，即lnx0=﹣x0﹣lnm．…
．…
当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0． 所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…
..
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