高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第9练三角函数的概念、三角恒等变换练习文

第9练 三角函数的概念、三角恒等变换

[明考情]

三角函数的概念和三角恒等变换是研究三角函数图象、性质的基础，常在交汇点处命题，个别年份单独命题，难度中档偏下. [知考向]

1.任意角的三角函数. 2.三角函数的求值与化简. 3.三角恒等变换的应用.

考点一 任意角的三角函数

要点重组 (1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

(2)三角函数：角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝

y(x≠0). x(3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

π22

1.已知圆O：x＋y＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，

2以ON为终边的角记为α，则tan α等于( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案 B

ππ

解析 圆的周长为4π，弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为

24

?

?α?

| α ＝2kπ＋π，k∈Z?，故tan α

4

??

＝1.

7π3

2.已知角α的终边经过点(m，m)，若α＝，则m的值为( )

311

A.27 B. C.9 D.

279答案 B

解析 角α的终边经过点(m，m)，

3

1

?7π7ππm1

若α＝，则tan ＝tan＝3＝＝m6，则m＝.

33327m3

1

3.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上的一点，且25

sin θ＝－，则y＝________.

5答案 －8

25yy25222

解析 因为r＝4＋y＝16＋y，且sin θ＝－，所以sin θ＝＝＝－， 2

5r516＋y所以θ为第四象限角，解得y＝－8.

4.(2017·北京)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y1

轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________.

31答案 3

解析 由角α与角β的终边关于y轴对称，

可知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，所以β＝2kπ＋π－α(k∈Z)， 1

所以sin β＝sin α＝. 3

5.函数y＝2sin x－1的定义域是________. π5π??答案 ?2kπ＋，2kπ＋?，k∈Z 66??考点二 三角函数的求值与化简

sin α22

要点重组 (1)同角三角函数基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tan α.

cos α(2)诱导公式：角π±α(k∈Z)的三角函数口诀：

2奇变偶不变，符号看象限. (3)和差公式.

方法技巧 (1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”；注意角的变形，看函数名称之间的关系；观察式子的结构特点.

1－cos 2α22

(2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点，sinα＝，cosα＝

21＋cos 2α

. 2

k 2

1?π

6.(2017·安徽淮北二模)已知α满足sin α＝，则cos?＋α

?cos?π－α???等于( ) ?3?4??

4?

A.7

18 B.2518 C.－718 D.－2518

答案 A

解析 cos??π?4＋α???cos??π?4－α??22?＝2(cos α－sin α)·2(cos α＋sin α)

＝12(cos2α－sin2α)＝12

1?1?72(1－2sinα)＝2??1－2×9??＝18，故选A.

7.(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝4

3，则sin 2α等于( )

A.－72279 B.－9 C.9 D.9 答案 A

解析 ∵sin α－cos α＝43

，

∴(sin α－cos α)2

＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，

∴sin 2α＝－7

9. 故选A.

8.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于( ) A.14 B.1

2 C.4 D.12 答案 C

解析 由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17， ∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)， ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β

＝4.

9.(2017·全国Ⅰ)已知α∈???0，π2???，tan α＝2，则cos???α－π4???＝________.

答案

310

10

解析 cos???

α－π4??ππ2?＝cos αcos 4＋sin αsin 4＝2(cos α＋sin α). 3

255?π?又由α∈?0，?，tan α＝2知，sin α＝，cos α＝，

2?55?π?2?525?310?∴cos?α－?＝×?＋?＝10. 4?2?5?5?10.已知cos(2α－β)＝－1143ππ，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝14742

________. 答案

π3

解析 因为cos(2α－β)＝－11π

14且4＜2α－β＜π，

所以sin(2α－β)＝53

14

.

因为sin(α－2β)＝43ππ

7且－4＜α－2β＜2，

所以cos(α－2β)＝1

7

.

所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]

＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－111534314×7＋14×7＝12.

因为π4＜α＋β＜3π4，

所以α＋β＝π3

. 考点三 三角恒等变换的应用

要点重组 辅助角公式：asin α＋bcos α＝a2

＋b2

·sin(α＋φ)， 其中cos φ＝aba2＋b2，sin φ＝a2＋b2.

11.(2017·山东)函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( ) A.π2 B.2π

3 C.π D.2π 答案 C

解析 ∵y＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin??π?2x＋6???，

∴T＝2π

2

＝π.

4