1
2020年高考数学三轮冲刺解答题---圆锥曲线篇（文理通用）
几何证明问题
2【例1】（2018全国卷Ⅰ）设椭圆C:x?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标
2为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB． 【解析】(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x?1．由已知可得，点A的坐标为(1,2)或(1,?2)．
22所以AM的方程为y??2x?22或y?2x?22．
(2)当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?．
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB． 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k则x1??0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y1y2．
?x1?2x2?22，x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMBMA由y1?kx1?k，y2?kx2?k得k2?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k．
(x1?2)(x2?2)将y?k(x?1)代入x?y2?1得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0．
222333所以x1?x2?4k，x1x2?2k?2．则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k?4k?4k?12k?8k?4k?0．
2222k?12k?12k?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补，所以?OMA??OMB．
综上，?OMA??OMB．
22【例2】（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：x?y?1交于A，B两点，线段AB的中点为
43M(1,m)(m?0)．
(1)证明：k??1；
2uuuruuuruuuruuuruuuruuur(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP?FA?FB?0．证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，
并求该数列的公差．
2222【解析】(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?y1?1，x2?y2?1．
43432
1
两式相减，并由y1?y2?k得x1?x2?y1?y2?k?0．由题设知x1?x2?1，y1?y2?m，
4322x1?x2于是k??3．①，由题设得0?m?3，故k??1．
24m2(2)由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则(x3?1,y3)?(x1?1,y1)?(x2?1,y2)?(0,0)． 由(1)及题设得x3?3?(x1?x2)?1，y3??(y1?y2)??2m?0． uuur又点P在C上，所以m?3，从而P(1,?3)，|FP|?3．
422uuuruuurx12x222于是|FA|?(x1?1)?y1?(x1?1)?3(1?)?2?1．同理|FB|?2?x2．
422uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur所以|FA|?|FB|?4?1(x1?x2)?3．故2|FP|?|FA|?|FB|，即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列．
2uuuruuur设该数列的公差为d，则2|d|?||FB|?|FA||?1|x1?x2|?1(x1?x2)2?4x1x2．②
22将m?3代入①得k??1．所以l的方程为y??x?7，代入C的方程，并整理得7x2?14x?1?0．
444故x1?x2?2，x1x2?1，代入②解得|d|?321．所以该数列的公差为321或?321．
28282828【例3】（2017北京）已知抛物线C：y2?2px过点P(1,1)．过点(0,1)作直线l与抛物线C 交于不同的两点
2M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．
【解析】（Ⅰ）由抛物线C：y2?2px过点P(1,1)，得p?．所以抛物线C的方程为y2?x．
抛物线C的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x??．
44（Ⅱ）当直线MN的斜率不存在或斜率为0时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN的斜率存在且不为0．设(0,1)为点Q，过Q的直线MN方程为y?kx?（k?0），设M(x,y)，N(x22111
2
112,y2)，
1?y?kx?22?显然，x1，x2均不为0．由?2，得4kx?(4k?4)x?1?0． ?y2?x?考虑??(k?1)2?4?1?k2?1?2k，由题意??0，所以k?1．则x1?x2?2，①， x1x2?2． ②
4kk24由题意可得A，B横坐标相等且同为x1，因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y?x， 点A的坐标为(x,x)．直线ON的方程为y?y2x，点B的坐标为(x1,y2x1)．
111?k1x2x22
1
若要证明A为BM的中点，只需证2yA?yB?yM，即证x1y2?y?2x，
11x21?y?kx?1?1112代入上式，即证即证x1y2?x2y1?2x1x2，将?(kx2?)x1?(kx1?)x2?2x1x2， ?22?y?kx?122??2即证(2k?2)x1x2?1(x1?x2)?0③，将①②代入③得(2k?2)12?1?k?0， 224k2k11?k化简有k?2??0恒成立，所以2yA?yB?yM恒成立．故A为线段BM的中点． 22k2k【例4】(2016年全国III)已知抛物线C：y2?2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l，l分别交C于A，
12B两点，交C的准线于P，Q两点.
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． 【解析】由题设F(,0).设l1:y?a,l2:y?b，则ab?0，且
a2b2111a?b. A(,a),B(,b),P(?,a),Q(?,b),R(?,)22222212记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x?(a?b)y?ab?0.
（Ⅰ）由于F在线段AB上，故1?ab?0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1?a?ba?b1?ab?????b?k2.所以AR∥FQ. 221?aa?abaa（Ⅱ）设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S?ABF?a?b111b?aFD?b?ax1?,S?PQF?. 2222由题设可得
11a?bb?ax1??，所以x1?0（舍去），x1?1.设满足条件的AB的中点为E(x,y). 2222ya?b?(x?1).而?y，所以y2?x?1(x?1). a?bx?122当AB与x轴不垂直时，由kAB?kDE可得
当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y?x?1.
几何证明之两角相等问题：
【例】（2020·安徽省蚌埠二中高二开学考试）设抛物线C：y2?2x，点A?2，0?，B??2，0?，过点A的直线l与
2
1
C交于M，N两点．
（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：?ABM【答案】（1）y?【解析】 【分析】
（1）首先根据l与x轴垂直，且过点A?2，0?，求得直线l的方程为x?2，代入抛物线方程求得点M的坐标为?2,2?或?2,?2?，利用两点式求得直线BM的方程； （2）设直线l的方程为x?ty?2，点
??ABN．
11x?1或y??x?1；（2）见解析.
22M?x1,y1?、N?x2,y2?，将直线l的方程与抛物线的方程联立，列
出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM、BN的斜率之和为零，从而得出所证结论成立. 【详解】
（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x?2，可得M的坐标为?2,2?或?2,?2?．
所以直线BM的方程为y?（2）设l的方程为x11x?1或y??x?1；
22?ty?2，
M?x1,y1?、N?x2,y2?，
?y2?2t?x?ty?2由?2，得y2?2ty?4?0，可知y?y?2x直线BM、BN的斜率之和为kBM?kBN?1，y1y2??4．
?x?2?y1??x1?2?y2??ty2?4?y1??ty1?4?y2y1y?2?2 x1?2x2?2?x1?2??x2?2??x1?2??x2?2??2ty1y2?4?y1?y2?2t???4??4?2t??0，
x?2x?2x?2x?2?1??2??1??2???ABN所以kBM?kBN?0，可知BM、BN的倾斜角互补，所以?ABM综上，?ABM??ABN.
.
【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.
2
1
几何证明之直线位置关系问题：
x2y2【例】（2020·四川省泸县五中高三）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1，F2，A,B是
ab其左右顶点，点P是椭圆C上任一点，且?PF1F2的周长为6，若?PF1F2面积的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；
（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M,N两个不同点，证明：直线AM于BN的交点在一条定直线上.
x2y2??1 (2)见解析。 【答案】(1) 43【解析】 【分析】
（1）利用椭圆的定义，可求出?PF1F2周长的表达式，当P点是椭圆的上（或下）顶点时，VPF1F2面积有最大值为3，列出等式，结合a2?b2?c2，求出椭圆方程；
（2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线AM与BN的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论．
?2a?2c?6,?c?1,?1??x2y2C?2bc?3,??b?3,1 ??1； 【详解】（）由题意得?，?椭圆的方程为
432?2?a?2,22a?b?c,???（2）由（1）得A??2,0?，B?2,0?，F2?1,0?，设直线MN的方程为x?my?1，
?x?mx?1?22M?x1,y1?，N?x2,y2?，由?x2y2，得4?3my?6my?9?0，
?1??3?4???y1?y2??6m39?my1y2??y1?y2?， yy??2，122，4?3m24?3myy1?x?2?，直线BN的方程为y?2?x?2?， Q直线AM的方程为y?x2?2x1?2?x?2y1y?x?2??2?x?2?，?x1?2x2?2x?2?y2?x1?2?y1?x2?2??my1y2?3y2?3，
my1y2?y1?x?4，?直线AM与BN的交点在直线x?4上.
【点睛】本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、定直线问题．
2
相关推荐：
loading