①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) 图像 定义域 (－∞，＋∞) 2?4ac－b?值域 ?? ，＋∞?4a?b??在x∈?－∞，－2a?上单调递减； ??单调性 ?b?在x∈?－2a，＋∞?上单调递增 ??对称性 f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) (－∞，＋∞) 4ac－b2???－∞，? 4a??b??在x∈?－∞，－2a?上单调递增； ???b?在x∈?－2a，＋∞?上单调递减 ??b函数的图像关于x＝－2a对称 2.幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数的图像比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图像过定点(1,1)；
③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 思想与方法系列 3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.
思维点拨 参数a的值确定f(x)图像的形状；a≠0时，函数f(x)的图像为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系. 规范解答
解 (1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2.
1
(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x图像的开口方向向上，且对称轴为x＝a. 1
①当a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0,1]内，
11
∴f(x)在[0，a]上递减，在[a，1]上递增.
1121
∴f(x)min＝f(a)＝a－a＝－a.
1
②当a>1，即0 (3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图像的开口方向向下， - 9 - 1 且对称轴x＝a<0，在y轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上递减. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. a－2， a<1，?? 综上所述，f(x)min＝?1 －， a≥1.??a 温馨提醒 (1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行讨论，又对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论. (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论. [方法与技巧] 1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式. (3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便. 2.研究二次函数的性质要注意： (1)结合图像分析； (2)含参数的二次函数，要进行分类讨论. 3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较. [失误与防范] 1.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况. 2.幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点. §5 指数与指数函数 1．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a?nam(a?0),m,n?N?，且n>1)；正数的负分数指数幂的意 m?1义是an＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． nma (2)幂的运算性质：aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中a>0，b>0，m，n∈R. 2．指数函数的图像与性质 a>1 0 mn (1)R (2)(0，＋∞) (3)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 (4)当x>0时，y>1；当x<0时，0 思想与方法系列 4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用 ?1??1? 典例 (1)函数y＝?4?x－?2?x＋1在区间[－3,2]上的值域是________． ????12(2)函数f(x)?()?x?2x?1的单调减区间为__________________________． 2?1?x 思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t＝?2?，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域． ?? (2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求． 解析 (1)因为x∈[－3,2]， ?1??1? 所以若令t＝?2?x，则t∈?4，8?， ???? ?1?3 故y＝t2－t＋1＝?t－2?2＋4. ?? 13 当t＝2时，ymin＝4；当t＝8时，ymax＝57. ?3? 故所求函数值域为?4，57?. ?? (2)设u＝－x2＋2x＋1， ?1? ∵y＝?2?u在R上为减函数， ?? 12∴函数f(x)?()?x?2x?1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间． 2又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f(x)的减区间为(－∞，1]． ?3? 答案 (1)?4，57? (2)(－∞，1] ?? 温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化． [方法与技巧] 1．通过指数函数图像比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0 1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域． 3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围． §6 对数与对数函数 1.对数的概念 如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； M ②logaN＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； - 11 - n ④logamMnlogamMn＝mlogaM(m，n∈R，且m≠0). (2)对数的性质 ①alogaN＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1). (3)对数的重要公式 logaN ①换底公式：logbN＝logb (a，b均大于零且不等于1)； a 1 ②logab＝loga，推广logab·logbc·logcd＝logad. b 3.对数函数的图像与性质 a>1 图像 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x>1时，y>0当0 典例 (1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( ) A.c 2A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 1(3)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝()log30.3，则( ) 5A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 思维点拨 (1)可根据幂函数y＝x0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c大小.(2)a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较.(3)化为同底的指数式. 解析 (1)根据幂函数y＝x0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b 根据对数函数y＝log0.3x的单调性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1. 所以b 11 (2)∵a＝log2π>log22＝1，b＝log1?＝log2π 210log31log30.3?53. (3)c?()5方法一 在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图像，如图所示. 由图像知： 10 log23.4>log33>log43.6. - 12 - 1010 方法二 ∵log33>log33＝1，且3<3.4， 10 ∴log33 ∵log43.6 ∴log43.6 ∴log23.4>log33>log43.6. ?5?5log43.6. 由于y＝5为增函数，∴51即5log23.4?()log30.3?5log43.6，故a>c>b. 5答案 (1)C (2)C (3)C 温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. x log23.4log3103[方法与技巧] 1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或0 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0 4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y＝1交点的横坐标进行判定. [失误与防范] 1.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围. §7 函数的图像 1.描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像. 2.图像变换 (1)平移变换 (2)对称变换 关于x轴对称 ①y＝f(x)――→y＝－f(x)； - 13 -
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