类型二 阶梯费用类问题
例1．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/kg) 销售量y(kg) (1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入—成本)； (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝－2x＋200(40≤x≤80)； （2）w=－2x＋280x－8 000(40≤x≤80)；
（3）当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元． 【解析】(1)根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，
?50k＋b＝100，?k＝－2，??由表中的数据得?解得?
??60k＋b＝80，b＝200，??
2
50 100 60 80 70 60 ∴y＝－2x＋200(40≤x≤80)；
(2)根据题意得W＝y ·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x＋280x－ 8 000(40≤x≤80)；
(3)由(2)可知：W＝－2(x－70)＋1 800，∴当售价x在满足 40≤x≤70的范围内，利润
2
2
W随着x的增大而增大；当售价在满足 70＜x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减
小．∴当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元．
例2．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：
??－2x＋140（40≤x<60），
y＝? ?－x＋80（60≤x≤70）.?
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利
润是多少？
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．
?－2x＋200x－4 200（40≤x<60），?
【答案】（1）W＝? 2
?－x＋110x－2 400（60≤x≤70）；?
2
（2）800万（3）45≤x≤55.
??－2x＋200x－4 200（40≤x<60），
【解析】(1)W＝? 2
?－x＋110x－2 400（60≤x≤70）；?
2
(2)由(1)知，当40≤x<60时，W＝－2(x－50)＋800. ∵－2<0，∴当x＝50时，W有最大值800. 当60≤x≤70时，W＝－(x－55)＋625.
∵－1＜0，∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小， ∴当x＝60时，W有最大值为600. ∵800>600，∴W最大值为800万元．
答：当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元； (3)当40≤x＜60时，令W＝750，得
－2(x－50)＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55. 由函数W＝－2(x－50)＋800的性质可知， 当45≤x≤55时，W≥750，
当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.
答：要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.
例3．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系为p＝1
??4t＋16（1≤t≤40，t为整数），
日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系如?1
??－2t＋46（41≤t≤80，t为整数），图3－3－1所示．
(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
2
2
2
2
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元？
(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1 kg小龙虾，就捐赠m(m＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求
m的取值范围．
【答案】（1）y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)；（2）W＝(p－6)y （3）21天（4）5≤m＜7.
【解析】 (1)根据函数图象，利用待定系数法求解可得； (2)设日销售利润为W，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润＝每千克利润×销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；
(3)求出W＝2 400时x的值，结合函数图象即可得出答案；
图3－3－1
(4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间
t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．
解：(1)设函数表达式为y＝kt＋b，
???198＝k＋b，?k＝－2，
?将(1，198)，(80，40)代入，得解得? ?40＝80k＋b，?b＝200，??
∴y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)； (2)设日销售利润为W，则W＝(p－6)y，
1?1?2
①当1≤t≤40时，W＝?t＋16－6?(－2t＋200)＝－(t－30)＋2 450，
2?4?∴当t＝30时，W最大＝2 450；
1?2
－t＋46－6?②当41≤t≤80时，w＝?(－2t＋200)＝(t－90)－100， ??2?∴当t＝41时，W最大＝2 301， ∵2 450＞2 301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2 450元； 12
(3)由(2)得当1≤t≤40时，W＝－(t－30)＋2 450，
2
12
令W＝2 400，即－(t－30)＋2 450＝2 400，解得t1＝20，t2＝40，
2
12
由函数W＝－(t－30)＋2 450的图象(如答图)可知，当20≤t≤40时，日销售利润不
2低于2 400元，
第3题答图
而当41≤t≤80时，W最大＝2 301＜2 400，
∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件； (4)设日销售利润为W，根据题意，得
??W＝?t＋16－6－m?(－2t＋200)＝－ t2＋(30＋2m)t＋2 000－200m，其函数图象的对
?
称轴为t＝2m＋30，
∵W随t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函数的图象及其性质可知2m＋30≥40， 解得m≥5，又∵m＜7，∴5≤m＜7.
例4．小慧和小聪沿图3－3－2①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：
1?4
12
图3－3－2
(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？
(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；
(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？
【答案】（1）7:30（2）如下（3）11:00
【解析】(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20＝2.5(h)， ∵小聪上午10：00到达宾馆，
∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5＝7.5，即7：30. 答：小聪早上7：30从飞瀑出发； (2)设直线GH的函数表达式为s＝kt＋b，
1??由于点G的坐标为?，50?，点H的坐标为(3，0)，
?2?
1???50＝k＋b，?k＝－20，2则有?解得?
?b＝60，???0＝3k＋b，∴直线GH的函数表达式为s＝－20t＋60， 又∵点B的纵坐标为30，
3
∴当s＝30时，得－20t＋60＝30，解得t＝，
2
?3?∴点B的坐标为?，30?. ?2?
答：点B的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆30 km(即景点草甸)处第一次相
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