专题30 几何证明综合复习（梯形有关综合）
教学重难点
1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力
2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；
3.体会用“分析综合法”探求解题思路；
4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；
5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。
【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概5-8分钟左右。
【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结
几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的\因为\、\所以\逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 11.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两角相等
1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；
7.相似三角形的对应角相等； 8.等于同一角的两个角相等。
三、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。
五、证明线段的和、差、倍、分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。 3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
六、证明角的和、差、倍、分
1.作两个角的和，证明与第三角相等。 2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。 3.利用角平分线的定义。
4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
七、证明两线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。 2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。 5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
八、证明两角不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
九、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。 2.利用内外角平分线定理。 3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。 6.利用比利式或等积式化得。
以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是梦想！
1（2019崇明二模）.如图，在直角梯形ABCD中，?ABC?90?，ADPBC，对角线AC、BD相交于点O．过点D作DE?BC，交AC于点F．
BEAO?，求证：OEPCD； ECOFAFDF?（2）若AD?CD且BD?CD，求证：． ACOB（1）联结OE，若
【整体分析】
（1）根据?ABD?90?,DE?BC，得到AB//DE，得比例式：OF?AD=EC?AO，化成比例式后得：
AOBO?，根据已知的OFODBEAOAOBE??，则，则OE//CD; ECOFOFEC （2）先证明四边形ABED为矩形，得AD?BE，?ADE?90?，根据同角的余角相等，得到证明?ADO??CDF，得到OD?DF，根据AB//DE，得到比例式?CDE??ADB，
AFBEAD??，ACBCBC又AD//BC，得到【满分解答】
ADODDF??，即可证明. BCBOBO(1)∵?ABD?90?,DE?BC，
∴AB//DE
AOBO ?OFODBEAO?∵ ECOFAOBE ?∴
OFEC∴
∴OE//CD;
(2)∵AD//BC，AB//DE， ∴四边形ABED为平行四边形 又∵?ABD?90? ∴四边形ABED为矩形 ∴AD?BE，?ADE?90? 又∵BD?CD
∴?BDC??BDE??CDE?90?
?ADE??ADB??BDE?90?,
∴?CDE??ADB
QAD?CD,
∴?DAC??DCA ∴?ADO??CDF?ASA? ∴OD?DF
QAB//DE
∴
AFBEAD?? ACBCBC∵AD//BC
ADODDF?? BCBOBOAFDF?∴ ACOB∴
【点睛】考查矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质等，综合性比较强，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
32.（2019崇明）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?DC?8，BC?12，cosC?，点E为
5AB边上一点，且BE?2．点F是BC边上的一个动点（与点B、点C不重合），点G在射线CD上，且
?EFG??B．设BF的长为x，CG的长为y．
（1）当点G在线段DC上时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当以点B为圆心，BF长为半径的⊙B与以点C为圆心，CG长为半径的⊙C相切时，求线段BF的长；
（3）当△CFG为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．
【整体分析】
（1）根据梯形的性质得到∠B＝∠C，进行证明∠GFC＝∠FEB，得到△EBF∽△FCG，根据相似三角形的性质得到
EBBF?，即可求出y与x之间的函数关系式. FCCG（2）分两种情况:①当⊙B与⊙C外切时， BF＋CG＝BC；②当⊙B与⊙C内切时， CG－BF＝BC进行讨论即可.
（3）分CF?CG,FC?FG,GC?GF三种情况进行讨论即可. 【满分解答】
（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC ∴∠B＝∠C
∵∠EFC=∠B＋∠BEF＝=∠EFG＋∠GFC，∠EFG＝∠B ∴∠GFC＝∠FEB
∴△EBF∽△FCG ∴
2xEBBF? ?，∴
12?xyFCCG12x?6x 2∴ y??自变量x的取值范围为：0?x?6?25或6?25?x?12
（2）当0?x?12时，无论点G在线段CD上，还是在CD的延长线上，都有
1y??x2?6x，
2 ①当⊙B与⊙C外切时， BF＋CG＝BC ∴x?12x?6x?12，解得x＝2或x＝12（舍去） 2②当⊙B与⊙C内切时， CG－BF＝BC ∴?12x?6x?x?12，解得x＝4或x＝6 2512 或2或 53综上所述，当⊙B与⊙C相切时，线段BF的长为：2或4或6
（3）当△FCG为等腰三角形时，线段BF的长为：
【点睛】考查相似三角形的的判定与性质，圆与圆的位置关系，等腰三角形的性质等，综合性比较强，难度较大.注意分类讨论思想在解题中的应用.
3.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=13，CD=4，点E在边AB上，DE∥BC。 （1）若CE?CB，且tan?B?3，求?ADE的面积； （2）若∥DEC=∥A，求边BC的长度。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AB∥CD，AB=13，CD=4，DE∥BC。
二.求?ADE的面积：
1.条件：CE?CB，且tan?B?3；
2.所求三角形面积，观察图形可知，需要求解高线，则结合梯形图形，画梯形的两条高线，求解高。 三.求边BC的长度： 1.条件：∥DEC=∥A；
2.利用角度相等可得△CDE∽△DEA，则【满分解答】
（1）分别过点C、D作CF?AB、DG?AB，交AB于点F、G（如图）.
CDDE，用比例个关系求解。 ?DEEA G
F
∵AB∥CD
∴DG?CF. ∵AB∥CD，DE∥BC， ∴BE?CD. ∵AB=13，CD=4，
∴AE?AB?BE?13?4?9. ∵CE?CB，CF?BE， ∴BF?11BE??4?2. 22在Rt△BCF中，由tan?B?3，BF?2得
CFtan?B?CF?3，即?3，CF?6.
BF2∴DG?CF?6. ∴S?ADE?11AE?DG??9?6?27. 22（2）∵AB∥CD，∴?CDE??DEA. 又∵∥DEC=∥A，
∴△CDE∽△DEA.
CDDE. ?DEEA4DE∵AE?9，CD=4，∴. ?DE9∴
∴DE2?36,DE?6（负值已舍）. ∵AB∥CD，DE∥BC，
∴BC?DE?6.
4.已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，DC?1BC，DN∥2CM，交边AC于点N。
（1）求证：MN∥BC；
（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.边的关系：AM?BM，DC?1BC，DN∥CM。 2 二.求证MN∥BC:先证明?MEC≌?NCD可得CM?DN，再结合CM∥DN得四边形MCDN是平行四边形，所以MN∥BC。
三.当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形:
1.结论：当?ACB=90o时，四边形BDNM是等腰梯形；
2.证明：由MN∥BD，BM与DN不平行，得四边形BDNM是梯形；再证明BM?DN可得。
【满分解答】
（1）证法一：取边BC的中点E，联结ME． ∵BM?AM，BE?EC，∴ME∥AC． ∴?MEC??NCD． ∵CD?1BC，∴CD?CE． 2∵DN∥CM，∴?MCE??D． ∴?MEC≌?NCD． ∴CM?DN．
又∵CM∥DN，∴四边形MCDN是平行四边形． ∴MN∥BC．
证法二：延长CD到F，使得DF?CD，联结AF． ∵CD?1BC，CD?DF，∴BC?CF． 2∵BM?AM，∴MC∥AF． ∵MC∥DN，∴ND∥AF． 又∵CD?DF，∴CN?AN． ∴MN∥BC．
（2）解：当?ACB=90o时，四边形BDNM是等腰梯形． 证明如下：
∵MN∥BD，BM与DN不平行，∴四边形BDNM是梯形． ∵?ACB=90，BM?AM，∴CM?BM?AM． ∵CM?DN，∴BM?DN ∴四边形BDNM是等腰梯形．
5.已知：如图，△ABC与△BDE都是正三角形，且点D在边AC上，并与端点A、C不重合。
o求证：（1）△ABE≌△CBD； （2）四边形AEBC是梯形。
E A D
B C
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.特殊条件：△ABC与△BDE都是正三角形。
二.求证△ABE≌△CBD ：由AB?BC，BE?BD，?ABE??CBD可得。
三.四边形AEBC是梯形：由全等得?BAE??ABC，所以AE//BC，又因为BC?AC?CD，继而
BC?AE，所以四边形AEBC是梯形。
【满分解答】
（1）在正△ABC与正△BDE中，
∵AB?BC，BE?BD，?ABC??EBD?60?， ∴?ABE??CBD． ∴△ABE≌△CBD．
（2）∵△ABE≌△CBD，∴?BAE??C?60?，AE?CD． ∴?BAE??ABC． ∴AE//BC．
又∵BC?AC?CD，∴BC?AE． ∴四边形AEBC是梯形．
1.（2019奉贤二模）如图，已知梯形ABCD中，AD//BC ，∠ABC=90°，BC=2AB=8，对角线AC平分∠BCD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交边AB的延长线于点F，联结CF．
（1）求腰DC的长； （2）求∠BCF的余弦值．
【分析】
（1）根据勾股定理求出AC，求出CE，解直角三角形求出DE，根据勾股定理求出DC即可； （2）根据相似三角形的性质和判定求出AF，求出CF，解直角三角形求出即可． 【详解】
（1）∵∠ABC=90°，BC=2AB=8，∴AB=4，∵AD//BC ， ∴∵AC平分∠BCD，∴∴AD=CD． ∵DE⊥AC，∴在Rt△在Rt△∵∴
中，中，
，∴
，，，
．
．
．
．
．
． ∴
．
．
．即腰DC的长是5．
（2）设DF与BC相交于点Q，
∵∵∵∵在Rt△
，中，
，
，，∴△，∴，∴
，∴
∽△
，∴
．∴
．
． ．
，即
．
.
即的余弦值是．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形
等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
2.（2019松江二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，BD=6，sinA=ABCD的面积．
2，求梯形3
【分析】
求出∠A=∠DBC，解直角三角形求出AB和DC，根据勾股定理求出BC，再求出梯形的面积即可． 【详解】
解：QAB//CD,??ABD??CDB
QAB//CD,BC?AB,?BC?CD
QAD?BD,??ADB??BCD?90?
??A??DBC
在RtVADB中，sinA?BD AB2QBD?6,sinA?,?AB?9
3DC在RtVBCD中，sin?DBC?
BD2Qsin?DBC?sinA?,?DC?4
3?BC?25
?S梯形ABCD?11?DC?AB??BC ??4?9??25?135 22【点睛】本题考查梯形和解直角三角形，能通过解直角三角形求出DC、BA的长度是解此题的关键．
3.如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，?A?90?，CD?AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF。连接EF并展开纸片。
（1）求证：四边形ADEF是正方形；
（2）取线段AF的中点G，连接EG，如果BG?CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．
D
E
C
DECA
G F
B
AGFHB
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AB∥DC，CD?AD； 2.其它条件：注意图形翻折，且?A?90?。
二.求证四边形ADEF是正方形：利用翻折产生的边角相等证明。 三.证明四边形GBCE是等腰梯形： 1.条件：G是线段AF的中点，BG?CD；
2.过C作CH∥AB，垂足为H，则可得EGBC是梯形；
3.再证明∥EFG∥∥CHB可得EG=CB，所以四边形GBCE是等腰梯形。
【满分解答】
（1）∥∥ADF∥∥EDF ∥∥DEF=∥A=90° ∵AB∥DC ∴∥ADE=90° ∥四边形ADEF为矩形 又∥DA=DE ∥ADEF为正方形
（2）过C作CH∥AB，垂足为H ∥CE∥BG，CE≠BG ∥EGBC是梯形 ∥CH∥AB ∥∥CHA=90°
又∥∥CDA=∥DAH=90° ∥ CDAH为矩形 ∥CD=AH 又∥BG=CD ∥BG=AH ∥BH=AG 又∥AG=GF ∥GF=HB
又∥∥EFG=∥CHB，EF=CH ∥ ∥EFG∥∥CHB ∥EG=CB
∥ EGBC为等腰梯形
4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD的平分线交BC于E，联结ED。 ⑴求证：四边形ABED是菱形；
⑵当?ABC?60o，EC＝BE时，证明：梯形ABCD是等腰梯形。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.特殊条件：AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD的平分线交BC于E 。
二.求证四边形ABED是菱形:利用角平分线证明AB=AD.、AB=BE，再结合AD∥BE.可得。 三.证明梯形ABCD是等腰梯形:
1.条件：?ABC?60，EC＝BE；
2.因为?ABE为等边三角形，所以AB=AE.，则可得四边形AECD为平行四边形，所以AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形。 【满分解答】
o（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC， 又∵∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB. ∴AB=AD. 同理有AB=BE. ∴AD=BE. 又∵AD∥BE.
∴四边形ABED为平行四边形. 又∵AB=BE.. ∴□ABED为菱形.
（2）∵AB=BE，∠ABC=60°, ∴?ABE为等边三角形. ∴AB=AE.
又∵AD=BE=EC, AD∥EC. ∴四边形AECD为平行四边形. ∴AE=DC. ∴AB=DC.
∴梯形ABCD是等腰梯形..
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