2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试卷(无附参考答案)

2020年全国高中数学联赛浙江省预赛试卷

一、选择题

1． 下列三数3，log1682，log27124的大小关系是( )

2(A)3＜log1682＜log27124 (B)3＜log27124＜log1682

22(C)log27124＜3＜log1682 (D)log27124＜log1682＜3

222． 已知两点A(1，2)，B(3，1)到直线l的距离分别是2，5?2，则满足条件的直线l共有( )条 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

222

3． 设f(n)为正整数n(十进制)的各位上数字的平方之和，比如f(123)=1+2+3=14，记

f1(n)=f(n)，fk+1(n)=f(fk(n))，k=1，2，3，…，则f2020(2020)的值是( ) (A)20 (B)4 (C)42 (D)145

12

4． 设在xOy平面上，0＜y≤x，0≤x≤1所围成图形的面积为，则集合M={(x，y)| |y|?|x|

32

≤1}，N={(x，y)| |y|≥x+1}的交集M∩N所表示图形的面积是( )

1(A) (B)2 (C)1 (D)4

3335． 在正2020边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为( )

222

(A)2020 (B)1003 (C)1003?1003 (D)1003?1002

?6． 设函数f(x)=sinx?cosx+tanx?cotx+sinx?cosx+tanx?cotx，则f(x)在(0，)内

sinx?tanxcosx?tanxcosx?cotxsinx?cotx2的最小值是( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 二、填空题

7． 手表的表面在一平面上，整点1，2，3，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuurt2t3?t2t3gt3t4?L?t12t1gt1t2=____. 的圆周上．从整点i到整点(i+1)的向量记作titi?1，则t1t2g8． 设ai∈R(i=1，2，…，n)，?，?，?∈R，且?+?+?=0，则对任意x∈R，

+

?(1?a?i?1inx111??)=_____. (???)x?x(???)x?x?ai1?ai?ai1?ai?ai(???)x9． 在1，2，3，…，2020中随机选取三个数，这三个数能构成递增等差数列的概率等于____. 10． 已知集合A={(x，y)| x+y?2xcos?+2(1+sin?)(1?y)=0，?∈R}，B={(x，y)| y=kx+3，

2

2

k∈R}．若A∩B为单元素集，则k=______.

442008200811． 设a，b为非零实数，x∈R，若sin2x?cos2x?212，则sin2006x?cos2006x?_____.

aba?bab12． maxmin{1,1,1,a?b2?c3}?______. 23abca,b,c?R?三、解答题

22222

13． 在x轴同侧的两个圆：动圆C和圆4ax+4ay?4abx?2ay+b=0外切(a,b∈N，a≠0)，且

动圆C与x轴相切，求

（1）动圆C的圆心轨迹L的方程；

（2）若直线4(7?1)abx?4ay+b+a?6958a=0与曲线L有且仅有一个公共点，求a,b之值．

2bn14． 已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n (n=1，2，3，…)，{bn}满足b1=1，bn?1?bn?(n=1，

n2

2

1?1. 2，3，…)，证明:1≤?2ab?ka?b?kk?1k?1kk?1kn

15． 六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子．问：

（1）共有多少种不同的骰子；

（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V，在所有的骰子中，求V的最大值和最小值．