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湖南省益阳市2019年普通初中学业水平考试
数 学
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1.?6的倒数是
（ ）A.?16
B.16 C.?6 D.6 2.下列运算正确的是
（ ）A.??2?2??2
B.?23?2?6
C.2+3?5
D.2?3?6 3.下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是
（ ）
A
B
C
D
4.解分式方程
x2x?1?21?2x?3时，去分母化为一元一次方程，正确的是 （ ）A.x?2?3
B.x?2?3 C.x?2?3?2x?1?
D.x?2?3?2x?1? 5.下列函数中，y总随x的增大而减小的是
（ ）A.y?4x B.y??4x C.y?x?4
D.y?x2
6.已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是
（ ）A.平均数是8 B.众数是8 C.中位数是8
D.方差是8
7.已知M、N是线段AB上的两点，AM?MN?2，NB?1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则
数学试卷 第1页（共18页） △ABC一定是
（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
D.等腰三角形
8.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为?，大桥主架的顶端D的仰角为?，已知测量点与大桥主架的水平距离AB?a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为
（ ）
A.asin??asin? B.acos??acos? C.atan??atan?
D.
atan??atan?
9.如图2，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是
（ ）
A.PA?PB
B.?BPD??APD C.AB?PD
D.AB平分PD
10.已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图3所示，下列结论：①ac＜0，②b?2a＜0，③b2?4ac＜0，④a?b?c＜0，正确的是
（ ）
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡中对应题号
的横线上）
11.国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车快捷收费（ETC）用
数学试卷 第2页（共18页）
户数量将突破1.8亿，将180 000 000用科学记数法表示为 .
12.若一个多边形的内角和与外角和之和是900?，则该多边形的边数是 . 13.不等式组??x?1＜0的解集为 ??x＞3.
14.如图4，直线AB∥CD，OA⊥OB，若?1?142?，则?2? 度.
15.在如图5所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A?B?C?，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是 .
16.小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是 .
17.反比例函数y?k
x
的图象上有一点P?2,n?，将点P向右平移1个单位，再向下平移
1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k? . 18.观察下列等式： ①3?22??2?1?2， ②5?26??3?2?2， ③7?212??4?3?2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式 .
三、解答题(本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.（本小题满分8分）
?1计算：4sin60????2019?0???1??2????23.
数学试卷 第3页（共18页） 20.（本小题满分8分）
化简：??x2?4?x?4????x2?42x.
21.（本小题满分8分）
已知，如图6，AB?AE，AB∥DE，
?ECB?70?，?D?110?，求证：△ABC≌△EAD.
22.（本小题满分10分）
某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了图7所示的不完整的统计图表.
类别 频率 A m B 0.35 C 0.20 D
n
E
0.05
（1）求本次调查的小型汽车数量及m，n的值； （2）补全频数分布直方图；
（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5 000辆，请你估计其中每车只乘坐1人
的小型汽车数量.
数学试卷 第4页（共18页）
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23.（本小题满分10分）
如图8，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND?MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E. （1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由； （2）求证：ND?NE；
（3）若DE?2，EC?3，求BC的长.
24.（本小题满分10分）
为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式.某农户有农田20亩，去年开始实施“虾·稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润=售价-成本）.由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元.
（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，
稻谷售价为2.5元/千克，该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？
25.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A?1,4?，B?3,0?.
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）探究：如图9-1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD
于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
（3）应用：如图9-2，P?m,n?是抛物线在第四象限的图象上的点，且m?n??1，连
接PA、PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点
数学试卷 第5页（共18页） N的坐标.
提示：若点A、B的坐标分别为?x1,y1?、?x2,y2?，则线段AB的中点坐标为
??x1?x2y1?y2??2,2??.
26.（本小题满分12分）
如图10，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB?4，BC?6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动. （1）当?OAD?30?时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为
212时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，
并求此时cos?OAD的值.
数学试卷 第6页（共18页）
湖南省益阳市2019年普通初中学业水平考试
数学答案解析
一、选择题 1．【答案】A 【解析】?6的倒数是?16．故选：A。 【提示】乘积是1的两数互为倒数。 【考点】倒数的定义。 2．【答案】D 【解析】A：??2?2?2，故本选项错误；
B：?23?2?12，故本选项错误；
C：2与3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确。故选：D。
【提示】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可。 【考点】二次根式的性质及二次根式的相关运算法则。 3．【答案】C
【解析】A.圆柱的侧面展开图可能是正方形，故A错误； B.三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误； C.圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；
D.三棱锥的侧面展开图是三角形，故D错误。故选：C。 【提示】根据特殊几何体的展开图，可得答案。 【考点】几何体的展开图。 4．【答案】C
【解析】方程两边都乘以?2x?1?，得
x?2?3?2x?1?，故选：C。
【提示】最简公分母是2x?1，方程两边都乘以?2x?1?，把分式方程便可转化成一元一
次方程。
数学试卷 第7页（共18页） 【考点】解分式方程。 5．【答案】B
【解析】y?4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y??4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意， y?x?4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y?x?4中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选
项D不符合题意，故选：B。
【提示】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解
答本题。
【考点】二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质。 6．【答案】D
【解析】由平均数的公式得平均数??5?8?8?9?10??5?8，
方差?1222225???5?8???8?8???8?8???9?8???10?8????2.8，
将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8， 5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，故选：D。 【提示】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断。 【考点】学生对平均数，众数，中位数，方差的理解。 7．【答案】B
【解析】如图所示，AC?AN?4，BC?BM?3，AB?2?2?1?5，
?AC2?BC2?AB2，
?△ABC是直角三角形，且?ACB?90?，故选：B。
【提示】依据作图即可得到AC?AN?4，BC?BM?3，AB?2?2?1?5，进而得到
数学试卷 第8页（共18页）
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