2005年四川省初中数学联赛（初二组）决赛试卷

2005年四川省初中数学联赛（初二组）决赛试卷

一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）

1．（7分）已知一次函数y＝ax+b的图象经过点（0，1），它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为（ ） A．1

B．﹣1

C．±1

D．不确定

2．（7分）如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积等于（ ）

A．190

4

B．192

3

2

2

C．194

D．196

3．（7分）多项式2x﹣3x+ax+7x+b能被x+x﹣2整除，则 （ ） A．﹣2

B．

C．

D．0

4．（7分）有1000个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间数都等于它前后两个数的和，如果这1000个数的前两个数都是1，那么这1000个数的和等于（ ） A．1000

B．1

C．﹣1

D．0

5．（7分）a、b是实数，如果已知A．6

3＝0，且b+b﹣3＝0，那么

C．8

42

的值是（ ）

B．7 D．9

6．（7分）三边长是三个连续正整数，且周长不超过60的锐角三角形共有（ ） A．15个

B．16个

C．18个

D．20个

二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）

7．（7分）计算：（2+1）（2+1）（2+1）…（2+1）+1＝ ．

8．（7分）设直线kx+（k+1）y＝1（k为正整数）与两坐标轴围成的图形的面积为Sk（k＝1，2，3，…，2005），那么，S1+S2+S3+…+S2005＝ ．

9．（7分）如图，△FBE、△FDC、△FCB的面积分别是5、8、10，那么四边形AEFD的面积S＝ ．

2

4

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10．（7分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，EF分别为BC、CD的中点，则EF＝ ．

三、解答题（共3小题，满分70分）

11．（20分）不等于0的三个数a、b、c满足

，求证：a、b、c中至少

有两个互为相反数．

12．（25分）在一环形路上顺时针排列有A、B、C、D四所学校，它们分别有彩电15台、8台、5台、12台．为使各所学校的彩电数目相同，允许这几所学校相互调剂，但只能向相邻的学校调出彩电（或调入彩电）．问怎样调配才能使调出的彩电总台数最少？试求出所有可能使调出总台数最少的方案，并求出调出的彩电总台数．

13．（25分）有一矩形ABCD，AB＝a，BC＝ka．现将纸片折叠，使顶点A和顶点C重合，如果折叠后纸片不重合的部分的面积为 a，试求k的值．

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2005年四川省初中数学联赛（初二组）决赛试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）

1．（7分）已知一次函数y＝ax+b的图象经过点（0，1），它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为（ ） A．1

B．﹣1

C．±1

D．不确定

【分析】把点（0，1）代入一次函数y＝ax+b，得b＝1；再令y＝0，得x ，即它与x轴的交点坐标为（ ，0）；由图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，所以有| |＝1，解此方程即可得到a的值．

【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过点（0，1），即与y轴的交点坐标为（0，1）， ∴b＝1；

令y＝0，则0＝ax+1，得x ，即它与x轴的交点坐标为（ ，0）； 又∵图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形， ∴| |＝1，解得a＝±1． 所以a的值为±1． 故选：C．

【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）与两坐标轴交点的坐标的求法和等腰三角形的性质以及绝对值的含义．

2．（7分）如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积等于（ ）

A．190

B．192

C．194 D．196

【分析】根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR＝AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD的值即可计算等边△ABC的面积． 【解答】解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，

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等边三角形面积S BC?（PQ+PR+PS） BC?AD 故PQ+PR+PS＝AD， ∴AD＝6+8+10＝24， ∵∠ABC＝60° ∴AB＝24 16 ，

∴△ABC的面积S BC?AD 24×16 192 ， 故选：B．

【点评】本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS＝AD是解题的关键．

3．（7分）多项式2x﹣3x+ax+7x+b能被x+x﹣2整除，则 （ ）

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3

2

2

A．﹣2

2

B．

C．

4

3

2

D．0

2

【分析】由于x+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多项式2x﹣3x+ax+7x+b能被x+x﹣2整除，则2x﹣3x+ax+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x﹣3x+ax+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），

则x＝﹣2和x＝1时，2x﹣3x+ax+7x+b＝0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，

解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值．

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3

2

3

24

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2

4

【解答】解：∵x+x﹣2＝（x+2）（x﹣1）， ∴2x﹣3x+ax+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除， 设商是A．

则2x﹣3x+ax+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），

则x＝﹣2和x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．

当x＝﹣2时，2x﹣3x+ax+7x+b＝32+24+4a﹣14+b＝4a+b+42＝0 ①

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