全国初中（初二）数学竞赛辅导22

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第二十二讲 面积问题与面积方法

几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具． 下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下． (1)三角形的面积 (i)三角形的面积公式

b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径． (ii)等底等高的两个三角形面积相等．

(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比． (iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方． (2)梯形的面积

梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半． (3)扇形面积

其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．

1．有关图形面积的计算和证明

解 因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得

所以，阴影部分AEFBDA的面积是

例2 已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO的面积(图2-128)． 解 首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO

由题设

设S△AOB=S，则

所以

例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．

分析 如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的． 解 设未知的两个小三角形的面积为x和y，则

即

又

即

①÷②得

再由②得x=56．因此

S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．

例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．