解 为方便起见，设
S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则
所以
同理可得
从①，②，③中可以解得
所以
例5 在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近
的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰
解 如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故
n2-n-90=0， 所以n=10． 2．利用面积解题
有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．
例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．
证 如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则 S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA
所以 ax＋by＋cz=2S△ABC， 即ax＋by＋cz为常数． 说明 若△ABC为等边三角形，则
此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．
例7 如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：
证 首先，同例2类似，容易证明
说明 本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．
例8 如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值． 解 由上题知
去分母整理得
3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324 =xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216， 所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．
练习二十二
1．填空：
________．
(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．
(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．
(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则SABCD=____．
ABC
△
=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．
2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．
3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．
4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．
5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S． 6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：
7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．
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