∴BQ=8﹣ = ， ∴BM= × =
，
∴AP=AB﹣PB=AB﹣2BM=
【解析】【分析】（１）当AP=CP时，由锐角三角函数可知AC=6，BC=8，因为PQ平分∠CPB，所以PQ//AC，可知PB=PC，所以点P是AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，PQ =3;
(2)当四边形PMQN为菱形时，因为∠APC=PC=4.8，PB=3.6，因为MQ//PC，所以
，所以四边形PMQN为正方形， 可得
，可得
;
(3)当QM垂直平分PB 时，四边形PMQN的面积与△BPQ的面积相等，此时△CPQ∽△CBP，对应边成比例，可得AP=.
，所以
，因为AP=AB-2BM，所以
8．如图（1），在矩形DEFG中，DE=3，EG=6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=6，△ABC的一边BC和矩形的一边DG在同一直线上，点C和点D重合，Rt△ABC将从D以每秒1个单位的速度向DG方向匀速平移，当点C与点G重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）如图（2），当AC过点E时，求t的值；
（2）如图（3），当AB与DE重合时，AC与EF、EG分别交于点M、N，求CN的长； （3）在整个运动过程中，设Rt△ABC与△EFG重叠部分面积为y，请求出y与t的函数关系式，并写出相应t的取值范围．
【答案】（1）解：如图（2），当AC过点E时， 在Rt△ABC中，BC=3，AC=6， ∴BC所对锐角∠A=30°， ∴∠ACB=60°，
依题意可知∠ABC=∠EDC=90°， ∵∠ACB=∠ECD， ∴△ABC∽△EDC，
∴ ∴CD= ∴t=CD=
，即 ， ；
，
（2）解：如图（3），∵∠EDG=90°，DE=3，EG=6， ∴DG=
在Rt△EDG中，sin∠EGD= ∴∠EGD=30°，
∵∠NCB=∠CNG+∠EGD，
∴∠CNG=∠NCB﹣∠EGD=60°﹣30°=30°， ∴∠CNG=∠EGD， ∴NC=CG=DG﹣BC=3
﹣3；
时，△ABC与△EFG有重叠部分． =3
， ，
（3）解：由（1）可知，当x＞ 分两种情况：①当
＜t≤3时，如图（4），
△ABC与△EFG有重叠部分为△EMN，设AC与EF、EG分别交于点M、N，过点N作直线NP⊥EF于P，交DG于Q， 则∠EPN=∠CQN=90°， ∵NC=CG， ∴NC=DG﹣DC=3
﹣t，
﹣t）=
，
在Rt△NQC中，NQ=sin∠NCQ×NC=sin60°×（3 ∴PN=PQ﹣NQ=3﹣ ∵∠PMN=∠NCQ=60°， ∴sin∠PMN= ，MN= 在矩形DEFG中，EF∥DG， ∴∠MEN=∠CGN，
∵∠MNE=∠CNG，∠CNG=∠CGN， ∴∠EMN=∠MNE，
=
，
=t﹣
，
∴EM=MN， ∴EM=MN=t﹣
，
；
∴y=S△EMN= EM?PN= × ②当3＜t≤3
时，如图（5），
△ABC与△EFG重叠部分为四边形PQNM，设AB与EF、EG分别交于点P、Q，AC与EF、EG分别交于点M、N，则∠EPQ=90°， ∵CG=3 ∴S△EMN=
﹣t，
，
∵EP=DB=t﹣3，∠PEQ=30°，
∴在Rt△EPQ中，PQ=tan∠PEQ×EP=tan30°×（t﹣3）= ∴S△EPQ= EP?PQ= （t﹣3）× ∴y=S△EMN﹣S△EPQ=（
，
= ）﹣（
，
）=
+（
﹣
，
综上所述，y与t的函数关系式：y= t；
．
【解析】【分析】（1）证△ABC∽△EDC，由相似三角形的性质可求出CD的值，即可求（2）利用勾股定理求出DG的值，则由三角函数可∠EGD=30°，进而可证得∠CNG=∠EGD，则NC=CG=DG﹣BC，可求出答案；
（3）根据重叠部分可确定x的取值范围，再由三角形的面积公式可求出函数解析式.
9．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长； （2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 的值。 【答案】（1） 或 或 （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠ACB =∠CAD， 又∵∠BAC=∠ADC， ∴△ABC∽△DCA， ∴ = ， 即CA2=BC·AD， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD， ∴CA2=BC·AB， ∴△ABC是比例三角形.
.
（3）解：如图，过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD, ∴BH= BD,
∴AD∥BC，∠ADC=90°, ∴∠BHA=∠BCD=90°, 又∵∠ABH=∠DBC, ∴△ABH∽△DBC, ∴ = , ∴AB·BC=DB·BH, ∴AB·BC= BD2,
又∵AB·BC=AC2, ∴ BD2=AC2, ∴ =
.
【解析】【解答】解：（1）∵已知△ABC是比例三角形，依题可得： ①当AB2=BC·AC时， ∵AB=2，BC=3． ∴4=3AC， ∴AC= ； ②CB2=AB·AC， ∵AB=2，BC=3． ∴9=2AC， ∴AC= ； ③AC2=BC·AB， ∵AB=2，BC=3． ∴AC2=2×3， ∴AC=
.
.
综上所述：AC的长为： 或 或
【分析】（1）由比例三角形的定义分三种情况讨论：①当AB2=BC·AC时，②CB2=AB·AC，③AC2=BC·AB，代入CB、AB的数值分别求得AC长.
（2）根据平行线的性质和相似三角形的判定得△ABC∽△DCA，由相似三角形的性质得CA2=BC·AD；根据平行线的性质和角平分线的定义得∠ADB=∠ABD，根据等腰三角形等角对等边得AB=AD，将此代入上式即可得证.
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H,根据等腰三角形三线合一的性质可知BH= BD,由相似三角形的判定和性质得AB·BC=DB·BH,即AB·BC= BD2,联立（1）中的结论即可得出答案.
10．如图，在菱形ABCD中，
，
,点E是边BC的中点，连接DE,AE.
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