数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

又?f(x)的最高次项系数为1，且为3次多项式。

??3(x)?1T(x)与0的偏差最小。 33213?3(x)?T3(x)?x3?x

443从而有a?

413。求f(x)?sinx在[0,解：

?2]上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。

?f(x)?sinx,x?[0,]2f?(x)?cosx,f??(x)??sinx?0f(b)?f(a)2a1??,b?a?2cosx2?,??

?x2?arccos2??0.88069f(x2)?0.77118f(a)?f(x2)f(b)?f(a)a?x2??2b?a2?0.10526a0?于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为

P1(x)?0.10526?即

2?2x

sinx?0.10526?误差限为

?x,0?x??2

sinx?P1(x)?0.10526??sin0?P1(0)

14。求f(x)?e?0,1?在?0,1?上的最佳一次逼近多项式。

x解：

?f(x)?ex,x??0,1??f?(x)?ex,f??(x)?ex?0

f(b)?f(a)?e?1b?aex2?e?1x2?ln(e?1)a1?f(x2)?ex2?e?1f(a)?f(x2)f(b)?f(a)a?x2??2b?a21?(e?1)ln(e?1)??(e?1)221?ln(e?1)2a0?于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为

e1?(e?1)[x?ln(e?1)]22

1?(e?1)x?[e?(e?1)ln(e?1)]2P1(x)?15。求f(x)?x4?3x3?1在区间[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式。 解：

?f(x)?x4?3x3?1,x?[0,1]

1211且x?t?

22令t?2(x?)，则t?[?1,1]

1111?f(t)?(t?)4?3(t?)3?12222

14?(t?10t3?24t222t?9)16令g(t)?16f(t)，则g(t)?t?10t?24t?22t?9

*若g(t)为区间[?1,1]上的最佳三次逼近多项式P3(t)应满足

432maxg(t)?P3*(t)?min

?1?t?1当g(t)?P3(t)?*114T(t)?(8t?8t2?1) 3428*时，多项式g(t)?P3(t)与零偏差最小，故

*3(t)?g(t)?1T(t)342738

?10t3?25t2?22t?进而，f(x)的三次最佳一致逼近多项式为为

1*P3(t)，则f(x)的三次最佳一致逼近多项式16173[10(2x?1)3?25(2x?1)2?22(2x?1)?]168

51129?5x3?x2?x?44128P3*(t)?2416。f(x)?x，在??1,1?上求关于??span1,x,x的最佳平方逼近多项式。

??解：

?f(x)?x,x???1,1?

若(f,g)??1?1f(x)g(x)dx

且?0?1,?1?x2,?2?x4，则

?02?2,?12?,?22?,11(f,?0)?1,(f,?1)?,(f,?2)?,

2322(?0,?1)?1,(?0,?2)?,(?1,?2)?,57则法方程组为

2225229??2??2?3?2???5解得

2325272???5??a??1??0??2????1?a1?? ??7???2??a2??2??1????9??3??a0?0.1171875??a1?1.640625 ?a??0.8203125?224故f(x)关于??span1,x,x的最佳平方逼近多项式为

??

S*(x)?a0?a1x2?a2x4?0.1171875?1.640625x?0.8203125x24

17。求函数f(x)在指定区间上对于??span?1,x?的最佳逼近多项式：

1(1)f(x)?,[1,3];(2)f(x)?ex,[0,1]; x(3)f(x)?cos?x,[0,1];(4)f(x)?lnx,[1,2];解：

1(1)?f(x)?,[1,3];

x若(f,g)??31f(x)g(x)dx

且?0?1,?1?x,，则有

?02?2,?12?(?0,?1)?4,2226,3

(f,?0)?ln3,(f,?1)?2,则法方程组为

?2???4?4???a0???ln3? 26???????a1??2?3?从而解得

?a0?1.1410 ??a1??0.2958故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项式为

S*(x)?a0?a1x?1.1410?0.2958x

(2)?f(x)?ex,[0,1]

若(f,g)??10f(x)g(x)dx

且?0?1,?1?x,，则有