十年高考数学真题分类汇编及答案(2010—2019)

十年高考数学真题分类汇编及答案（2010—2019）

专题 空间向量

1.(2014·全国2·理T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( ) A.10 1

B.5 C.10 D.2 2√30√2【答案】C

【解析】如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

不妨设BC=CA=CC1=1,可知点

A(0,1,1),N(0,2,0),B(1,0,1),M(2,2,0). ????? =(0,-,-1),?????? ∴?????????=(-2,2,-1).

2????? ,?????? ∴cos=|????=?????? ||??????????? |

?????? ·??????????? ????

√30. 10

1

1

1

111

√30????? 与?????? 根据?????????的夹角及AN与BM所成角的关系可知,BM与AN所成角的余弦值为10.

2.(2013·北京·文T8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有( ) A.3个

B.4个 C.5个 D.6个

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【答案】B

【解析】设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示.

则D(0,0,0),D1(0,0,a),C1(0,a,a),C(0,a,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),A(a,0,0),

A1(a,0,a),P(3??,3??,3??), ?? |=√1??2+1??2+1??2=√3a, 则|???????

9993????? |=√??2+??2+??2=a, |????

999

4

4

1

221

|??????? ????1|=√9??2+9??2+9??2=

4

1

444

2√3a, 34

222?????? ??????? |?????1|=|????1|=√9??+9??+9??=a,

???? |=|????? |=√??2+??2+??2=|?????????

999

411

√6a, 3

|??????? ????1|=√9??2+9??2+9??2=

114

√6a, 3

3.(2012·陕西·理T5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线

BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ) A.5 √5B.3

√5C.

2√5 5

D.5 3

【答案】A

【解析】不妨设CB=1,则CA=CC1=2.由题图知,A点的坐标为(2,0,0),B点的坐标为(0,0,1),B1点的坐标为(0,2,1),C1点的坐标为(0,2,0). 所以??????? ????1=(0,2,-1),??????? ????1=(-2,2,1).

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0×(-2)+2×2+(-1)×1√5所以cos==.

355

√4.(2010·大纲全国·文T6)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C

【解析】不妨设AB=AC=AA1=1,建立空间直角坐标系如图所示,

则B(0,-1,0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(-1,0,1), ??????? ??????? ∴?????1=(0,1,1),????1=(-1,0,1).

11??????? ??????? ∴cos=|???????? ??????? |????||?????

1

1

???????? ??????? ????·?????

1√2×√=2.

21

??????? ??????? ∴=60°.

∴异面直线BA1与AC1所成的角为60°. 5.(2019·天津·理T17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF∥平面ADE;

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)若二面角E-BD-F的余弦值为3,求线段CF的长.

1

????? ,????????? ,????????? 的方向为x轴,y轴,z轴正【解析】(1)证明依题意,可以建立以A为原点,分别以????

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