(四)解析几何
x2y2
1．(2018·苏州市高新区一中考试)如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，
abB，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OP⊥AF.
(1)若点P的坐标为(3，1)，求椭圆C的方程； (2)延长AF交椭圆C于点Q，已知椭圆的离心率为
2
，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2
m倍，求实数m的值．
解 (1)因为点P(3，1)， 所以kOP＝
13，
又因为AF⊥OP，－×2
bc13
＝－1，
2
所以3c＝b，所以3a＝4b， 又点P(3，1)在椭圆C上， 31
所以2＋2＝1，
ab131322
解得a＝，b＝. 34故椭圆方程为＋＝1.
131334(2)因为e＝＝x2y2
ca2， 2
a2－b21即2＝，
a2b21所以2＝. a2
2
yQ－byQ＋by2b2Q－b又因为kAQkBQ＝·＝2＝－2，
xQxQxQakOP1a2
所以m＝＝－＝＝2.
kBQkAQkBQb2
1
x2y23
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝
ab2
1
－x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝210，C，D是椭圆E上异于A，B的两点，且直线AC，2
BD相交于点P，直线AD，BC相交于点Q.
(1)求椭圆E的标准方程； (2)求证：直线PQ的斜率为定值． (1)解 因为e＝＝
ca3， 2
3232222
所以c＝a，即a－b＝a，
44所以a＝2b.
x2y2
所以椭圆方程为2＋2＝1.
4bb由题意不妨设点A在第二象限，点B在第四象限， 1y＝－x，??2由?xy??4b＋b＝1，
2
222
得A?－2b，
?
?2?b?. 2?
又AB＝210，所以OA＝10， 12522
则2b＋b＝b＝10，
22得b＝2，a＝4.
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
164
(2)证明 由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1，
164
x2y2
x2y2
A(－22，2)，B(22，－2)．
①当直线CA，CB，DA，DB的斜率都存在，且不为零时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，
C(x0，y0)，显然k1≠k2.
y0－2y0＋2y20－2
从而k1·kCB＝·＝2 x0＋22x0－22x0－8
2
＝
x0?x0?4?1－?－22－4?16?x－8
2
0
22
＝
11＝－，所以kCB＝－. x－844k1
20
1
同理kDB＝－.
4k2
1
所以直线AD的方程为y－2＝k2(x＋22)，直线BC的方程为y＋2＝－(x－22)，
4k11??y＋2＝－4k?x－22?，1
由???y－2＝k2?x＋22?，
12
1
22?－4kk－4k＋1??x＝，?4kk＋1解得?
2?－4kk＋4k＋1?y＝，??4kk＋1
1212
2
12
从而点Q的坐标为?
2?－4k1k2＋4k2＋1???22?－4k1k2－4k1＋1?
，?.
4k1k2＋14k1k2＋1??
2?－4k1k2＋4k1＋1???22?－4k1k2－4k2＋1?
，?.
4k1k2＋14k1k2＋1??
用k2代替k1，k1代替k2得点P的坐标为?所以kPQ＝
22?－4k1k2－4k1＋1?22?－4k1k2－4k2＋1?
－
4k1k2＋14k1k2＋1＝
42?k2－k1?1＝. 82?k2－k1?2
2?－4k1k2＋4k2＋1?2?－4k1k2＋4k1＋1?
－4k1k2＋14k1k2＋1
1
即直线PQ的斜率为定值. 2
②当直线CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(－22，－2)． 1
设DA的斜率为k，由①知，kDB＝－. 4k1
因为直线CA：x＝－22，直线DB：y＋2＝－(x－22)，
4k得P?－22，－2＋
??
2?
k?
?.
又直线BC：y＝－2，直线AD：y－2＝k(x＋22)， 得Q?－22－
??
22
k，－2?，
??
3
1
所以kPQ＝.
2
1
由①②可知，直线PQ的斜率为定值.
2
x2y2343
3.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率是，右准线的方程为x＝.
ab23
(1)求椭圆C的方程；
?1?(2)已知点P?，2?，过x轴上的一个定点M作直线l与椭圆C交于A，B两点，若三条直线
?2?
PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点M的坐标．
解 (1)因为椭圆的离心率为
343，右准线的方程为x＝， 23
2
c3a43
所以e＝＝，＝，则a＝2，c＝3，b＝1，
a2c3
椭圆C的方程为＋y＝1.
4
(2)设M(m,0)，当直线l为y＝0时，A(－2,0)，B(2,0)，
x2
2
PA，PM，PB的斜率分别为 kPA＝，kPM＝45
44，kPB＝－， 1－2m3
因为直线PA，PM，PB的斜率成等差数列， 844
所以＝－，m＝8.
1－2m53证明如下：
当M(8,0)时，直线PA，PM，PB的斜率构成等差数列， 设AB：y＝k(x－8)，代入椭圆方程x＋4y－4＝0， 得x＋4k(x－8)－4＝0，
即(1＋4k)x－64kx＋256k－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
64k±?－64k?－4?1＋4k??256k－4?
因为x1,2＝， 2
2?1＋4k?
2
22222
2
2
2
2
2
2
2
2
4
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