64k256k－4
所以x1＋x2＝，xx＝1222，
1＋4k1＋4k0－24
又kPM＝＝－，
1158－2所以kPA＋kPB＝
22
y1－2y2－2
1x1－
2
＋
1x2－
2
＝
kx1－8k－2kx2－8k－2
1x1－
2
＋
1x2－
2
?1＋1?15??11? ＝2k＋?－k－2??
?2??x1－2x2－2?
???15?＝2k＋?－k－2?
?2?
?x1＋x2?－1
11x1x2－?x1＋x2?＋
24
2
64k2－11＋4k15??＝2k＋?－k－2?
?2?256k2－4164k21
2－×2＋1＋4k21＋4k4
?15?60k－1＝－8＝2k，即证．
＝2k＋?－k－2?PM15?2?152
4
?60k－1?
2
x2y2
4．(2018·江苏省前黄中学等五校联考)如图，已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点A(－
ab3??2,0)，且点?－1，?在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的2??直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标； (3)若F1C⊥AB，求k的值．
??a＝b＋c，
解 (1)由题意得?
19??4＋4b＝1，
2
2
22
a＝2，
?a＝2，
解得?b＝3，
?c＝1.
5
∴椭圆E的标准方程为x2y2
4＋3＝1.
(2)∵△CF1F2为等腰三角形，且k>0， ∴点C在x轴下方，
①若F1C＝F2C，则C(0，－3)；
②若F1F2＝CF2，则CF2＝2，∴C(0，－3)； ③若F1C＝F1F2，则CF1＝2，∴C(0，－3)， ∴C(0，－3)．
∴直线BC的方程为y＝3(x－1)，
??y＝3?x－1?，由??x2y2
?4＋3＝1，
?x＝0，?x＝8，得?
?y＝－3
或??
5??y＝335，
∴B??8?5，33?5??
. (3)设直线AB的方程lAB：y＝k(x＋2)，
?y＝k?x由?＋2?，?x22
2＋y＝得(3＋4k)x2＋16k2x＋16k2
－12＝0，??43
1，
2
∴x2x16k－12AxB＝－B＝3＋4k2，
2
∴x＝－8k＋612kB3＋4k2，∴yB＝k(xB＋2)＝3＋4k2，
2
∴B??－8k＋6?3＋4k2，12k3＋4k2???
，
若k＝12，则B??3?1，2???，∴C??3?1，－2???，
∵F，∴kCF3
1(－1,0)1＝－4，
∴F不垂直，∴k≠1
1C与AB2
.
∵F4k1
2(1,0)，kBF2＝1－4k2，kCF1＝－k，
∴直线BF2的方程lBF2：y＝
4k1－4k2(x－1)， 直线CF的方程lCF1
11：y＝－k(x＋1)．
6
??y＝4k1－4k2
?x－1?，由???y＝－1
k?x＋1?，
2
解得???
x＝8k－1，
??y＝－8k，
∴C(8k2
－1，－8k)．
2
2
2
又点C在椭圆上，得?8k－1??－84＋k?
3＝1，
即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2
＝124，
∵k>0，∴k＝612
. 7
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