第六章 点估计
教学目的
1、使学员掌握参数点估计的概念及基本思想。
2、使学员牢固掌握求未知参数估计量的两种常用方法：矩法和极大似然法。 3、掌握判断估计量的三个标准：无偏性、一致性和有效性。
4、理解单参数正则分布族C-R不等式的含义，会求有效估计或有效率。 参数点估计的概念
在用数理统计方法解决实际问题时，常会碰到这类问题：由所得资料的分析，我们能基本推断出母体的分布类型，比如其概率函数（密度或概率分布的统称）为f(X,θ)，但其中参数θ(一维或多维)却未知，只知道θ的可能取值范围是?，需对θ作出估计或推断。这类问题称为参数估计问题。
这类问题中的?称为参数空间，{f(x,θ), θ??}称为母体ξ的概率函数族。例如： 1、某灯炮厂生产的灯泡的使用寿命ξ据已有资料分析服从N(μ,σ2)分布，这里θ=(μ,σ2)的具体值未知，只知取值范围为(0,+∞)×(0,+∞)需对θ作估计。
这里参数空间?={(μ,σ2)：0＜μ＜+∞，σ2＞0},ξ的概率函数族为 {f(x, μ,σ2)：(μ,σ2)??}而f(ξ,μ, σ2)=
12??e??x???22?2 -∞＜x＜+∞
2、某纺织厂细纱机上的断头次数可用Poisson分布P(λ)描述，只知λ＞0，不知其值,为掌握每只纱绽在某一时间间隔内断头数K次的概率，需对λ作出推断。
这里参数空间?={λ:λ＞0}，ξ的概率函数族为{f(x,λ): λ??},其中f(x,λ)=P(ξ=x)=
?x
x!
e??，x=0,1,2??
一个参数估计问题就是通过子样估计出母体分布中的未知参数θ或θ的函数的问题。参数估计根据估计的形式，又分为点估计和区间估计。本章主要讨论点估计：
设母体ξ具有概率函数族{f(x,θ) θ??}θ未知待估，ξ1，ξ2，??ξ
n
是取自ξ
的子样,如我们构造一个统计量μ(ξ1，??ξn)来估计θ，(要求u的维数与θ的维数相同)，则称该统计量u为θ的估计量。并记为??=u(ξ1，??ξn)，对一组子样观测值(x1，??xn)代入估计量得到的值??=u(x1，??xn)称为θ的估计值。估计值和估计量统称为θ的估计。但估计是估计值(一个具体值)或是估计量(一个随机变量)，可根据具体要求作判断。
1
像这类用一个统计量来估计未知参数的问题，称为参数的点估计问题。 如何求估计量呢？方法很多，下面介绍最常用的两种方法。
§6.1矩法估计
一、矩法
对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体ξ的各阶矩一般与ξ分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数律，简单随机子样构成的子样矩依概率收敛到相应的母体矩。自然会想到用子样矩替换母体的相应矩，进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。
具体作法是：
设母体ξ的概率函数为f(x,θ1，??θk),其中(θ1，??θk) ??未知待估，设 EξK=Vk存在，则当j≤K时，Eξj=Vj;必存在。
1nj令Vj(θ1，??θk)=????i j=1,2,??，k (6.1)
ni?1j?,??,?,??为θ1，θ2??,θk的解(6.1)所示的关于θ1，??θk的k个方程，则得 ?12k矩估计,(6.1)中也可用子样中心矩代母体中心矩。
例6.1设母体ξ的均值μ,方差σ2未知，ξ1, ξ2??ξ的矩估计。
解：由μ, σ2分别是ξ的一阶原点矩和二阶中心矩 根据矩法求估计的思想
n
为取自ξ的子样，求μ与σ
2
??? 令 ?2?2?Sn ?
即是μ与σ2的矩估计
?,?? 并未用到ξ的分布 注意到我们这里求出?例6.2设母体ξ服从?(p,6) 分布，其密度为
2bpp?1?bxf(x;P,6)= xe ，x＞0
??p? 2
这里b＞0, P＞0未知待估，求其矩法估计。
分析与解：这里要估计的未知参数有两个，根据用矩法求估计的作法，应先求出ξ的两个矩，我们知道用特征函数求矩最简便，由第三章习题91(3) ξ的特征函数为：
?it??(t)??1??
?b?ip?it?∵ ?'(t)??1??b?b?i?p?1?p?p?p?1??it?， ?\(t)=?1??2b?b?ib?p?2
?\?0?p?p?1??∴Eξ= ?'(0)?p ， Eξ2= 22b故Dξ=
p b22pp??2????2 ??,2?Sn 解得 b令 ,p2bbSnSn二、判断估计好坏的两个标准
上面用矩法求出的估计是否好？现介绍两个评判估计量好坏的标准。 1、一致性
定义6.1，设母体ξ具有概率函数f(x,θ)，θ??为未知参数，ξ1，ξ2，??,ξ
η
??????,?,??为??的一个估计量，为子样，若对任给?＞0，有 ?nn1n? 为θ的一致估计。 则称 ?n? 是θ的一致估计 按此定义，?n显然，矩估计都是一致估计。 2、无偏性
p?????? n??????limP?nn????=0
??????是母体分布所含未知参数θ??的一个估计量，若 定义6.2，设?1,?,n???]??，则称??为θ的无偏估计，否则称为有偏的。 对一切θ??均有E?[?1,?,n现在来验证母体期望Eξ=μ与方差Dξ=σ2的矩估计是否为无偏估计，由定理5.1
??????E??? ∴?是μ的无偏估计 E?1nk?k??k???i都是?k的无偏估计。类似可证母体K阶原点矩Eξ=?k的矩估计， ?ni?1K
?? 3
而 ESn??令 Sn22n?12? ∴Sn2不是σ2的无偏估计，现纠偏 nn21n?Sn??i?? ?n?1n?1i?1??2?则ESn??2
?由此得Sn是σ2的无偏估计，
22Sn2不是σ2的无偏估计，但 ESn2=
n?12???2n2?n???? 我们称Sn2为σ2
?的渐近无偏估计，当样本容量较大时，用Sn2与Sn来估计σ2差别不大，但容量n较小时，?用Sn估计σ2比用Sn2来估计σ2性能更好。
2?是有偏的，但当n→∞时，有E??→θ，则称??一般地，若未知参数θ的一个估计?为θ的渐近无偏估计。
例6.3（教材P262）
例6.4设母体ξ服从（0, θ]上的均匀分布，θ＞0未知，求θ的矩估计，并验证其无偏性。
解∵Eξ=
? 2令
?????2E??2???2?为θ的矩估计，而E?=?得????? 2?2?? 是θ的无偏估计，又矩估计都是一致估计，所以，?? 是θ的一致，无偏估所以 ?计。
§6.2极大似然估计
矩法估计具有直观、简便等优点，特别求母体均值和方差的矩估计并不要求了解母体的分布，但它有缺点：对原点矩不存在的分布如哥西分布不能用，另方面它也没有充分利用母体分布F(x；θ)对θ提供的信息，下面再介绍一种求点估计的方法——最大（极大）似然法。
极大似然法最早是由CF Gauss提出的，后来R A Fisher在1912年的一篇文章中重新提出，并证明了这个方法的一些性质，极大似然估计这一名称也是由Fisher（费歇）给出的，这是目前仍得到广泛应用的一种求估计之方法，它建立在极大似然原理的基础上，即：一个
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