西省萍乡市2017-2018学年八年级下学期期末考试数学试题（解析版）

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数y＝kx，只要一对x，y的值；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 六、（本大题共1个小题，共7分）

26．如图，在?ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．

（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；

（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论； （3）若AB＝1，BC＝

，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠AOF，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；

（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；

（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论． 【解答】（1）证明：在?ABCD中，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE，

∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴OE＝OF；

（2）解：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由： ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵∠AOF＝90°， ∴∠BAC＝∠AOF， ∴AB∥EF， ∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（3）解：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝∴AC＝∴OA＝1＝AB，

∴△ABO是等腰直角三角形， ∴∠AOB＝45°， ∵BF＝DF，

∴△BFD是等腰三角形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，

∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高）， ∴∠BOF＝90°，

∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．

＝2，

，