排列归纳
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一．直接法
1． 特殊元素法
例1、用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
A5A4=240 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择A5，其余2位有四个可供选择A4，由乘法原理：
22222．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有A5=60，1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A4种，余下的有A4，共有A4A4A4=192所以总共有192+60=252
二．间接法
当直
2）可用间接法A6?2A5?A4=252
4321131122例2、有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂， 而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C5?2?A3个，其中0在百位的有C4?2?A2
222个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C5?2?A3－C4?2?A2=432（个）
333333222三．插空法
当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3、在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有A9?A10=100中插入方法。
四．捆绑法
当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 、4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有A4种排法，而男生之间又有A4种排法，又乘法原理满足条件的排法有：A4×A4=576
练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（C4A3）
2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C29?A28）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C29其余的就是19所学校选28天进行排列） 五．隔板法
名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法。
例5、某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块隔板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C11种
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练习1.(a+b+c+d)有多少项？
当项中只有一个字母时，有C4种（即a.b.c.d而指数只有15故C4?C14。
C14当项中有2个字母时，有C4而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，
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即C4C14
当项中有3个字母时C4指数15分给3个字母分三组即可C4C14
当项种4个字母都在时C4?C14 四者都相加即可．
练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（C16）
3．不定方程X1+X2+X3+?+X50=100中不同的整数解有（C99） 六．平均分堆问题
例6、6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有A3=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有
C6C4C2A3322234922133243=15种
练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。 七． 合并单元格解决染色问题
例7、 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5． 下面分情况讨论: 2 (ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时
5 43 2,4不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数A4 1 （ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A4 种着色法．
（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 2,4 ① 3,5从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有C4? 由加法原理知：不同着色方法共有2A4?444 3A33种方法．
CA4333=48+24=72（种）
练习1.将3种作物种植在排成一行的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）
5
16 43．如图，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一
32颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540） B
DAC
E
4．如图：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）
4
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2
5．将一四棱锥(如图)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）
A
EB
D C 八．递推法
例8、 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？
分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。
九.几何问题
1．四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种（3C5+3=33）
2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？任取4个点，不共面的有多少个？
任取3个：C10-4C6+4-3C4+3-6C4+6+2×6=29 任取4个：C10?4C6?6?3?141
(2)以这10个点为顶点，共能确定多少个三棱锥、四棱锥？凸棱锥呢？
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三棱锥 C10-4C6-6C4-3C4=141 四棱锥 6×4×4=96，3×6=18 共有114，只能构成三棱锥和四棱锥，故凸棱锥共141＋114＝255（个） 十． 先选（组合）后排（排列）法
例9、有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ）
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种 分析：先从10人中选出2人
练习：1.从0到9十个数字中,任选2个奇数和3个偶数,能组成多少个没有重复数字的五位数? (1)如果偶数未选0:C5C4A5?4800；
(2)如果偶数选了0: C5C4A4A4?5760，故能组成4800+5760=10560(个)没有重复数字的五位数. 十一．用转换法解排列组合问题
例10、某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．
解：把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．A5=20种 例11． 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解：把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．C9=126种
例12、从1，2，3，?，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法． 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其中黑球不相邻的排列问题。C991
例13 、某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最
短的走法有多少种．
解：无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的组合问题．C7=35（种）
例14 、一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的
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