中考 2020
类型二 二次函数与角度问题
2y?ax?bx?c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）例1、已知抛物线，与y轴交于点C(0，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y?x?5经过D、M两点.
（1） 求此抛物线的解析式；
（2）连接AM、AC、BC，试比较?MAB和?ACB的大小，并说明你的理由. 【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），
∴设点D的坐标为(x，3) ． ∵直线y= x+5经过D点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y）， 又∵直线y= x+5经过M点， ∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）．
2y?a(x?1)?4． ∴设抛物线的解析式为
∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．
2y??x?2x?3．…………3分 即抛物线的解析式为
（2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N． 由（1）中抛物线y??x?2x?3可得
点A（－3，0），B（1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=32． ∴∠PAB＝45°．
∵∠ABP=45°，∴PA=PB=22． ∴PC=AC－PA=2．
2PB在Rt△BPC中，tan∠BCP=PC=2．
在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．
MNtan∠NAM=AN=2．
∴∠BCP＝∠NAM．
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即∠ACB＝∠MAB．
例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?3经过点N（2,－5），过点N作x轴
的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6. （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直
角三角形时，求点P的坐标；
（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出y2点Q的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）∵y?ax?bx?3过点M、N（2，－5），MN?6， 由题意，得M（?4，?5）.
28765432112345678x?4a?2b?3??5,∴?
16a?4b?3??5.??a??1,解得 ?
b??2.?2-8-7-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10∴此抛物线的解析式为y??x?2x?3. …………………………………2分 （2）设抛物线的对称轴x??1交MN于点G，
若△DMN为直角三角形，则GD1?GD2?1MN?3. 2y∴D1（?1，?2），D2（?1，?8）. ………………………………………4分 直线MD1为y?x?1，直线MD2为y??x?9.
2将P（x，?x?2x?3）分别代入直线MD1，
COP1D1MGNx中考 2020
MD2的解析式，
得?x2?2x?3?x?1①，?x2?2x?3??x?9②. 解①得 x1?1，x2??4（舍），
∴P1（1,0）. …………………………………5分 解②得 x3?3，x4??4（舍），
∴P2（3,－12）. ……………………………6分 （3）设存在点Q（x，?x2?2x?3），
使得∠QMN=∠CNM.
① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN， 交MN于点H，则
QCOxNyQH?tan?CNM?4. MHMH即?x2?2x?3?5?（. 4x?4）解得x1??2，x2??4（舍）.
∴Q1（?2，3）. ……………………………7分 ② 若点Q在MN下方，
同理可得Q2（6，?45）. …………………8分
2例3、平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?4ax?4a?c与x轴交于点A、点B，与y轴
的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D． (1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A?，若QA?QB?2，
求点Q的坐标和此时△QAA?的面积．
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22【答案】（1）∵ y?ax?4ax?4a?c?a(x?2)?c，
yC∴ 抛物线的对称轴为直线x?2．
2∵ 抛物线y?ax?4ax?4a?c与x轴交于
1 点A、点B，点A的坐标为(1,0)，
OADB∴ 点B的坐标为(3,0)，OB＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?3)． ∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， ∴ OC=3，点C的坐标为(0,3)．
将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分
x图9 2∴ 此抛物线的解析式为y?x?4x?3．（如图9）…………………… 3分
（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物
线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点P1，点P1关于x轴的对称点为点
P2，点P1、点P2均为所求点.（如图10）
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线x?2上．
∵ ?APB、?ACB都是弧AB所对的圆周角， 1∴ ?AP1B??ACB，且射线FE上的其它点P都不满足?APB??ACB． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y?x上．
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∴ 点E的坐标为E(2,2)．………………………………………………… 4分
∴ 由勾股定理得 EA?5．
5． ∴ EP1?EA?5)．…………………………………………… 5分 ∴ 点P1(2,2?1的坐标为P由对称性得点P2的坐标为P2(2,?2?5)． ……………………………… 6分
5)、P2(2,?2?5). ∴符合题意的点P的坐标为P1(2,2?（3）∵ 点B、D的坐标分别为B(3,0)、D(2,?1)，
可得直线BD的解析式为y?x?3，直线BD与x轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为A?，（如图11） 若设AA?与∠AQB的平分线的交点为M，
则有 QA?QA?，AM?A?M，AA??QM，Q，B，A?三点在一条直线上． ∵ QA?QB?2，
∴ BA'?QA'?QB?QA?QB?作A?N⊥x轴于点N．
∵ 点Q在线段BD上， Q，B，A?三点在一条直线上， ∴ A?N?BA??sin45??1，BN?BA??cos45??1． ∴ 点A?的坐标为A?(4,1)． ∵ 点Q在线段BD上，
∴ 设点Q的坐标为Q(x,x?3)，其中2?x?3． ∵ QA?QA?，
∴ 由勾股定理得 (x?1)2?(x?3)2?(x?4)2?(x?3?1)2．
2.
11． 411经检验，x?在2?x?3的范围内．
4111∴ 点Q的坐标为Q(,?)． …………………………………………… 7分
44解得x?
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