空间向量的数量积教案 人教课标版(优秀教案)

《空间向量的数量积》教案

教学目标：．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学过程： （一）复习：

空间向量基本定理及其推论； （二）新课讲解：

．空间向量的夹角及其表示：

,B?b已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA?aO，则?AOB叫做向量a与

b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；

若?a,b??

．向量的模：

设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

．向量的数量积：

?2，则称a与b互相垂直，记作：a?b；

||?|cbos?,?ab?已知向量a,b，则|a叫做a,b的数

e B A? B? A C 量积，记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?a,b?． 已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做向量AB在轴l上或在e上的正射

影；可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|．

．空间向量数量积的性质：

（）a?e?|a|cos?a,e?．（）a?b?a?b?0．（）|a|?a?a． ．空间向量数量积运算律： （）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)． （）a?b?b?a（交换律）．

（）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）． （三）例题分析：

例．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与平面?的交点为B，且l?m,l?n 求证：l??．

证明：在?内作不与m,n重合的任一直线g， 在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交， ∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对(x,y)，使g?xm?yn， ∴l?g?xl?m?yl?n，又∵l?m?0,l?n?0， ∴l?g?0，∴l?g，∴l?g，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l??．

nglmnmgl2

例．已知空间四边形ABCD中，AB?CD，AC?BD，求证：AD?BC． 证明：选取一组基底，设AB?a,AC?b,AD?c， ∵AB?CD，∴a?(c?b)?0，即a?c?b?a， 同理：a?b?b?c，， ∴a?c?b?c，

∴c?(b?a)?0，∴AD?BC?0，即AD?BC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例．如图，在空间四边形OABC中，OA?8，AB?6，AC?4，BC?5，?OAC?45，?OAB?60，求OA与BC的夹角的余弦值。 解：∵BC?AC?AB， ∴OA?BC?OA?AC?OA?AB

?|OA|?|AC|?cos?OA,AC??|OA|?|AB|?cos?OA,AB? O ?8?4?cos135?8?6?cos120?24?162

OA?BC24?1623?22∴cos?OA,BC??， ??8?55|OA|?|BC|所以，OA与BC的夹角的余弦值为

A C

3?22B ． 5说明：由图形知向量的夹角时易出错，如?OA,AC??135易错写成?OA,AC??45，切

记！

五．课堂练习：课本第页练习第、、题。

六．课堂小结：空间向量数量积的概念和性质。 七．作业：课本第页第、题

补充：．已知向量a?b，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|?1,|b|?2,|c|?3， 试求：（）(a?b)；（）(a?2b?c)；（）(3a?2b)?(b?3c)．

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