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第1课时 正弦定理(1)
学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．正弦定理
思考：如图1-1-1，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？
sin Asin Bsin Cabc
图1-1-1
[提示]
＝＝＝c. sin Asin Bsin Cabc2．解三角形
(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？ [提示] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．( ) (2)正弦定理不适用于直角三角形．( )
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√
- 1 -
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提示：正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝________.
【导学号：91432000】
23 [由正弦定理得：
32AC32×sin 45°
＝，所以AC＝＝23.]
sin 60°sin 45°sin 60°
3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于______________． 2 [AC边上的高为ABsin A＝csin A＝2sin 45°＝2.] π
4．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝，则C＝________.
3
【导学号：91432001】
π331 [由正弦定理得：＝，所以sin B＝. 2πsin B2
sin
3又a>b，所以A>B，所以B＝
π， 6
?ππ?π
所以C＝π－?＋?＝.]
?36?2
[合 作 探 究·攻 重 难]
定理证明
在钝角△ABC中，证明正弦定理．
[证明] 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
CDCD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B. ba∴CD＝bsin A＝asin B. ∴
＝. sin Asin B＝. sin Bsin Cab同理，故
bc＝＝. sin Asin Bsin Cabc[规律方法] (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联,系，充分挖掘这些联系可以使你理 - 2 -
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解更深刻，记忆更牢固. (2)要证＝，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来sin Asin B之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力. [跟踪训练] 1．如图1-1-2，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明
＝2R. sin A【导学号：91432002】
aba
图1-1-2
[证明] 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C， 则圆周角∠A′＝∠A. ∵A′B为直径，长度为2R， ∴∠A′CB＝90°， ∴sin A′＝
BCa＝， A′B2Ra∴sin A＝，即＝2R.
2Rsin A
用正弦定理解三角形
已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c. 思路探究：①角A，B，C满足什么关系？ ②105°可拆分成哪两个特殊角的和？ ③由正弦定理如何求得b，c的值？ [解] ∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理得：c＝
aasin C＝102. sin Aasin B10·sin 105°b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)．
sin Asin 30°
∴B＝105°，b＝5(6＋2)，c＝102. [规律方法] - 3 -
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(1)正弦定理实际上是三个等式： ＝，＝，＝，每个等式sin Asin Bsin Bsin Csin Asin C涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角. [跟踪训练] 2．已知∠B＝30°，b＝2，c＝2，求A、C、a.
【导学号：91432003】
[解] 由正弦定理得：sin C＝∵c>b,0° abbcacc·sin B2sin 30°2 ＝＝， b22 bsin A2sin 105° a＝＝＝3＋1， sin Bsin 30° 当C＝135°时，A＝15°， bsin A2sin 15°a＝＝＝3－1. sin Bsin 30° 三角形形状的判断 [探究问题] 1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理． 提示：如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，即＝2R， sin A同理＝2R，＝2R，所以＝＝＝2R. sin Bsin Csin Asin Bsin C2．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？ sin Asin Bsin C提示：由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sin A＝，a＝2Rsin A；sin sin Asin Bsin C2RabcabcabcabcabcB＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角2R2R关系的转化． 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sinA＝sinB＋sinC，试判断△ABC的形 - 4 - 2 2 2
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