故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切点和正确求出导数是解题的关键．
11．若函数f（x）＝x2+（a﹣1）x﹣alnx存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a的取值范围为（ ） A．[，2） C．[0，）
B．[，+∞）
D．（﹣1，0）∪[，+∞）
【分析】先求导，再根据函数f（x）＝x2+（a﹣1）x﹣alnx存在唯一的极值，可得x＝1时函数的极值点，再根据极值不小于1，即可求出a的范围 【解答】解：∵f（x）＝x2+（a﹣1）x﹣alnx，x＞0， ∴f′（x）＝x+（a﹣1）﹣＝令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝﹣a，
∵函数f（x）＝x2+（a﹣1）x﹣alnx存在唯一的极值， ∴x＝1，此时a≥0
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， ∴f（x）极小值＝f（1）＝+a﹣1＝a﹣， ∵f（x）极小值≥1， ∴a﹣≥1 解得a≥， 故选：B．
【点评】本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题
12．若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，则a的最大值为（ ） A．
B．1
C．e
D．2e
＝
，
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【分析】根据题意，分析可得x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2?﹣＜0，设f（x）
＝，（x＞0），则在（0，a），函数f（x）为增函数；求出函数f（x）的导数，分析
的递增区间，分析可得答案．
可得函数f（x）
【解答】解：根据题意，若0＜x1＜x2＜a， x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2?
﹣
＜
﹣
?
＜
?
﹣＜0，
设f（x）＝，（x＞0），
则在（0，a），函数f（x）为增函数， 对于f（x）＝
，其导数f′（x）＝
＝﹣
，
若f′（x）＞0，解可得0＜x＜1， 即函数f（x）
的递增区间为（0，1）；
若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，即在（0，a），函数f（x）为增函数， 则a的最大值为1； 故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性的应用，关键是构造新函数，并分析函数的单调性，属于基础题．
13．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x?ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【分析】设切点为（m，mem），求得y＝x?ex的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：设切点为（m，mem），y＝x?ex的导数为y′＝（x+1）ex， 可得切线的斜率为（m+1）em，
则切线方程为y﹣mem＝（m+1）em（x﹣m），
第14页（共41页）
切线过点A（a，0）代入得﹣mem＝（m+1）em（a﹣m）， 可得a＝
，即方程m2﹣ma﹣a＝0有两个解，
则有△＝a2+4a＞0可得a＞0或a＜﹣4． 即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）． 故选：A．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．
14．已知函数f（x）＝2ef′（e）lnx﹣（e是自然对数的底数），则f（x）的极大值为（ ） A．2e﹣1
B．
C．1
D．2ln2
【分析】求出f′（e）的值，求出函数f（x）的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可． 【解答】解：f′（x）＝故f′（e）＝， 故f（x）＝2lnx﹣，
令f′（x）＝﹣＞0，解得：0＜x＜2e， 令f′（x）＜0，解得：x＞2e，
故f（x）在（0，2e）递增，在（2e，+∞）递减， ∴x＝2e时，f（x）取得极大值2ln2， 故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，求出f′（e）的值是解题的关键． 15．已知函数f（x）＝
，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式
＜0
﹣，
恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．（﹣∞，e]
B．（﹣∞，e）
C．
D．
【分析】根据题意可得函数g（x）＝xf（x）＝ex﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可
第15页（共41页）
【解答】解：∵x∈（0，+∞）， ∴x1f（x1）＜x2f（x2）．
即函数g（x）＝xf（x）＝ex﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数． 则g′（x）＝ex﹣2ax≥0恒成立． ∴2a≤令
， ，
则，
x∈（0，1）时m'（x）＜0，m（x）单调递减， x∈（1，+∞）时m'（x）＞0，m（x）单调递增， ∴2a≤m（x）min＝m（1）＝e， ∴
．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．
16．已知函数f（x）＝ex1+e1x，则满足f（x﹣1）＜e+e
﹣
﹣
﹣1
的x的取值范围是（ ）
D．1＜x＜e
﹣
A．1＜x＜3 B．0＜x＜2
﹣
﹣
C．0＜x＜e
﹣
﹣
【分析】函数f（x）＝ex1+e1x，则f（x﹣1）＝ex2+e2x，令g（x）＝f（x﹣1）＝ex
2
+e2x﹣（e+e1），利用导数研究其单调性即可得出．
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
【解答】解：函数f（x）＝ex1+e1x，则f（x﹣1）＝ex2+e2x， 令g（x）＝f（x﹣1）＝ex2+e2x﹣（e+e1），
﹣
﹣
﹣
g′（x）＝ex2﹣e2x，令g′（x）＝0，解得x＝2．
﹣
﹣
可得：函数g（x）在（﹣∞，2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增． g（x）min＝g（2）＝2﹣（e+e1）＜0，
﹣
又g（1）＝g（3）＝0． ∴1＜x＜3． 故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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