预测新题型专练
一、多选题
1．设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，则( ) A．A∩B＝{0,1} B．?UB＝{4} C．A∪B＝{0,1,3,4} D．集合A的真子集个数为8
AC [∵全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，∴A∩B＝{0,1}，故A正确；?UB＝{2,4}，故B错误；A∪B＝{0,1,3,4}，故C正确；集合A的真子集个数为2－1＝7，故D不正确；故选AC.]
π??2．设函数f(x)＝sin?2x＋?的图象为C，则下列结论错误的是( ) 6??A．函数f(x)的最小正周期是π π
B．图象C关于直线x＝对称
6
π
C．图象C可由函数g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
3
3
?ππ?D．函数f(x)在区间?－，?上是增函数 ?122?
π?π?CD [由f(x)＝sin?2x＋?得f(x)的最小正周期为π，故A正确；当x＝时，f(x)＝16?6?ππ
取得最大值，故图象C关于直线x＝对称，故B正确；将g(x)向左平移个单位得y＝
632π?π?7π???π????ππ?sin?2?x＋??＝sin?2x＋?≠f(x)，故C错误；当x∈?－，?时，2x＋∈?0，?，
3??3?6?6?????122?
?ππ?∴f(x)在?－，?上不单调，故D不正确．故选CD.] ?122?
3．为比较甲、乙两地某月10时的气温状况随机选取该月中的5天，将这5天10时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，估计该月两地气温情况，下列推测合理的是( )
A．甲地该月10时的平均气温低于乙地该月10时的平均气温 B．甲地该月10时的平均气温高于乙地该月10时的平均气温 C．甲地该月10时气温的标准差小于乙地该月10时的气温的标准差
D．甲地该月10时气温的标准差大于乙地该月10时的气温的标准差 BC [根据茎叶图中的数据知，
1
甲的平均数为x甲＝×(18＋19＋20＋21＋22)＝20，
5
x乙＝×(16＋18＋19＋21＋21)＝19，
22222
s2甲＝×[(18－20)＋(19－20)＋(20－20)＋(21－20)＋(22－20)]＝2，
1
5
15
∴s甲＝2，
22222
s2乙＝×[(16－19)＋(18－19)＋(19－19)＋(21－19)＋(21－19)]＝3.6，
1
5
∴s乙＝3.6，
∴甲地该月10时的平均气温高于乙地该月10时的平均气温，A错误，B正确； 甲地该月10时的平均气温的标准差小于乙地该月10时的气温的标准差，C正确，D错误．故选BC.]
4．设{an}(n∈N)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )
A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
ABD [由S5＜S6得a1＋a2＋a3＋a4＋a5＜a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，即a6＞0， 又∵S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7， ∴a7＝0，故B正确；
由S7＞S8，得a8＜0，∴d＝a8－a7＜0，故A正确；
而C选项S9＞S5，即a6＋a7＋a8＋a9＞0，可得2(a7＋a8)＞0，由结论a7＝0，a8＜0，显然C选项错误；∵S5＜S6，∴S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；故选ABD.]
5．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f(x)＝
*
x－[x]，则下列命题正确的是( )
A．f(－0.8)＝0.2
B．当1＜x＜2时，f(x)＝x－1
C．函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1) D．函数f(x)是增函数、奇函数
ABC [f(x)＝x－[x]表示数x的小数部分， 则f(－0.8)＝f(－1＋0.2)＝0.2，故A正确；
当1＜x＜2时，f(x)＝x－[x]＝x－1，故B正确； 函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1)，故C正确； 当0＜x＜1时，f(x)＝x－[x]＝x， 当1＜x＜2时，f(x)＝x－1，
当x＝0.5时，f(0.5)＝0.5，当x＝1.5时，f(1.5)＝0.5， 则f(0.5)＝f(1.5)，即有f(x)不为增函数，
由f(－1.5)＝0.5，f(1.5)＝0.5，可得f(－1.5)＝f(1.5)，即有f(x)不为奇函数．] 6．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE、
DF、EF折起，使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是( )
A．PD⊥EF
B．平面PDE⊥平面PDF 1
C．二面角P-EF-D的余弦值为 3
D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
ABC [如图，由已知可得PE、PF、PD三条侧棱两两互相垂直，则PD⊥平面PEF，∴PD⊥EF，故A正确；
PE⊥平面PDF，而PE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PDF，故B正确；
取EF中点G，连接PG，DG，可得PG⊥EF，DG⊥EF，得∠PGD为二面角P-EF-D的平面角，设12321
正方形ABCD的边长为2，则PD＝2，PG＝EF＝，DG＝，∴cos∠PGD＝＝，即二面
222323
21
角P-EF-D的余弦值为，故C正确；过P作PO⊥DG，则O为P在底面DEF上的射影，∵PE＜
3
22
PD，∴OE＜OD，则O不是△DEF的外心，故D错误；故选ABC.]
7．已知函数y＝me的图象与直线y＝x＋2m有两个交点，则m的取值可以是( ) A．－1 C．2
xxB．1 D．3
xBCD [令f(x)＝me－x－2m，则f′(x)＝me－1.
当m＜0时，f′(x)＝me－1＜0，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当m＞0时，令f′(x)＝me－1＝0，解得x＝－ln m，可得函数f(x)在x＝－ln m时取得最小值，
xxf(－ln m)＝1＋ln m－2m，令g(m)＝1＋ln m－2m(m＞0)，则g′(m)＝－2，可得函数g(m)
m1
1?1?在m＝取得最大值，g??＝－ln 2＜0，∴f(x)的最小值f(－ln m)＜0.∴m＞0时，函数f(x)2?2?有且仅有两个零点，即函数y＝me的图象与直线y＝x＋2m有两个交点，∴m的取值可以是1,2,3.故选BCD.]
8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P|PA|1满足＝.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是( )
|PB|2
A．C的方程为(x＋4)＋y＝9
|PD|1
B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝
|PE|2C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
|PA|1
BC [在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，设P(x，y)，则
|PB|2?x＋2?＋y122＝，化简得(x＋4)＋y＝16，故A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两定点22?x－4?＋y2
|PD|12222
＝，可设D(m,0)，E(n,0)，可得?x－n?＋y＝2?x－m?＋y， |PE|2
2
2
2
2
222
2
xD，E，使得
化简可得3x＋3y－(8m－2n)x＋4m－n＝0，
由P的轨迹方程为x＋y＋8x＝0，可得8m－2n＝－24,4m－n＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，即存在异于A、B的两定点D(－6,0)，E(－12,0)使B正确；
当A，B，P三点不共线时，由
|OA|1|PA|
＝＝，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确； |OB|2|PB|
2
2
2
2
2
2
2
2
|PD|1
＝，故|PE|2
若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M(x，y)，即有x＋y＝2?x＋2?＋y， 16162222
化简可得x＋y＋x＋＝0，联立x＋y＋8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D
33错误．故选BC.]
二、一题两空
9．已知复数z满足(1＋2i)z＝3－4i，i为虚数单位，则z的虚部是________，|z|＝________.
－2
5 [由(1＋2i)z＝3－4i，得
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