2012考研数学易混淆概念分析之概率论与数理统计

2012考研数学易混淆概念分析之概率论与数理统计

万学海文

概率论与数理统计的第一章“概率论的基本概念”是概率论与数理统计的基础，将这些基本概念掌握牢固是我们学好概率论与数理统计这门课程的重要前提条件，为了帮助同学们加深理解这部分内容，万学海文数学考研辅导专家们将同学们在学习过程中容易发生混淆的概念总结如下： 1.若事件A?B，是否可以认为A,B为同一事件？

答：不能．首先明确事件相等的定义，A?B?A?B且B?A．如两个灯泡串联, 记A?{A灯亮}，B?{B灯亮}，则A不发生时，一定导致B不发生，所以A?B?B?A，同理当B不发生时，一定导致A不发生，有A?B，故有

A?B，但A,B不是同一事件．

2.比较下面三个概念：互斥、对立、划分．

答：（1）互斥：事件A,B互斥是指AB??．注意：互斥的两事件没有公共的样本点；基本事件之间都是互斥的．

（2）对立：事件A,B对立是指AB??且A?B??；

（3）划分（完备事件组）：事件A1,A2,?,An是一个划分是指：(i)A1,A2,?,An两两互不相容，即AiAj??,i?j,i,j?1,2,?,n；(ii)A1?A2???An??．

3.P(A)?0?A??和P(A)?1?A??对吗？

答：不对．连续型随机变量在一点的取值概率为零，但这个事件不是空事件；同理连续型随机变量去掉有限个点，其取值概率仍为1，但去掉有限个点后，显然不是样本空间?．但反过来都是成立的，即：A???P(A)?0和

A???P(A)?1．

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说明：一般的，从概率的信息得不出事件关系．但如果是古典概型，则上述结论正确，即古典概率如果P(A)?0，能得出A??，P(A)?1，能得出A??，为什么？因为古典概型的样本点是有限个，并且每个样本点发生的概率相等，则每个基本事件的概率都大于零，从而有上述结论． 4.两个事件互不相容，是否就是相互独立？

答：不是．独立与互不相容是两个不同的概念，它们没有任何关系．互不相容是指两个事件不可能同时发生，即AB??，是用事件的关系来定义；而独立是指两个事件同时发生部分的概率等于两个事件分别发生概率的乘积，即

P(AB)?P(A)P(B)，是用概率来定义．

5.三个事件中两两相互独立，能否说明三个事件独立？

答：不能．三个事件中两两相互独立，只是三个事件独立的一个条件，还必须满足：P(ABC)?P(A)P(B)P(C)，三个事件才独立． 6.什么事件与任何事件都独立？

答：只要满足P2(A)?P(A)即P(A)?0或P(A)?1的事件与任何事件都独立．

若P(A)?0，又有AB?A，所以0?P(AB)?P(A)?0，故P(AB)?0， 即有P(AB)?0?P(B)?P(A)P(B)，故A,B独立．

若P(A)?1，又有A?A?B，所以1?P(A)?P(A?B)?1，故P(A?B)?1， 又P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?1?P(B)?P(AB)?P(AB)?P(B)，则有

P(AB)?1?P(B)?P(A)P(B)，故A,B独立．

7.全概率公式与贝叶斯公式

答：全概率公式：B1,B2,?,Bn是完备事件组，P(Bi)?0,i?1,?,n，

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则P(A)??P(Bi)P(A|Bi)；

i?1n贝叶斯公式：B1,B2,?,Bn是完备事件组，P(A)?0,P(Bi)?0,i?1,?,n，

则P(Bj|A)?P(ABj)P(A)?P(Bj)P(A|Bj)?P(B)P(A|B)iii?1n,j?1,2,?,n

分析：B1,B2,?,Bn——原因，A——结果

全概率公式用于求复杂事件（可以由多个原因导致）的概率，已知：每个原因Bi,i?1,?,n发生的概率P(Bi)，在每个原因发生的条件下结果A发生的概率

P(A|Bi),i?1,?,n；求：结果A发生的概率P(A)；

贝叶斯公式用于求条件概率，已知：一个原因Bj发生的概率P(Bj)，在该原因发生条件下结果A发生的概率P(A|Bj)，结果A发生的概率P(A)（可用全概率公式求）；求：该原因Bj在结果A发生下的概率P(Bj|A)． 8.先验概率和后验概率

答：先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式中的

P(Bj),j?1,2,?,n，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现

后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式的结果P(Bj|A),j?1,2,?,n，是“执果寻因”问题中的“因” ．即基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计．

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