第1课时 绝对值不等式
考情考向分析
本节考查热点为绝对值不等式的解法及证
明．在高考中主要以解答题的形式考查，属于低档题．
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1．绝对值不等式的解法
(1)含有绝对值的不等式|x|
不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|a (－∞，－a)∪(a，＋∞) R ∞)
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
2
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( × ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为?.( √ )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( × ) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( × ) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P6例3]不等式3≤|5－2x|<9的解集为__________． 答案 (－2,1]∪[4,7)
解析 由题意得???
|2x－5|<9，
??|2x－5|≥3，
即???
－9<2x－5<9，
??2x－5≥3或2x－5≤－3，
解得???
－2 x≥4或x≤1， 不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)． 3．[P6例4]求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集． 3 解 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1； ②当1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 4．[P6例4]若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3| 因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，＋∞)． 题组三 易错自纠 5．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________. 答案 4或－6 解析 方法一 ①当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|， f(x)min＝0，不符合题意； －3x＋2a－1，x ②当a<－1时，f(x)＝?x－1－2a，a≤x≤－1， ??3x＋1－2a，x>－1，∴f(x)min＝f(a)＝－a－1＝5，∴a＝－6成立； －3x＋2a－1，x<－1，?? ③当a>－1时，f(x)＝?－x＋2a＋1，－1≤x≤a， ??3x＋1－2a，x>a，∴f(x)min＝f(a)＝a＋1＝5，∴a＝4成立． 综上，a＝4或a＝－6. 方法二 当a＝－1时，f(x)min＝0，不符合题意； 当a≠－1时，f(x)min＝f(a)＝|a＋1|＝5， ∴a＝4或a＝－6. 6．若存在实数x，使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是____________． 答案 [－2,4] 解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 4
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