《线性代数》作业答题纸

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专业及班级 姓名 学号 成绩 关的解向量；

??200?5. 二次型f(x,x222?12x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3的矩阵是?032 ???023??三、计算题（共2题，每题6分，共12分）

ab0?000ab?001. ??????.

000?abb00?0aab?0b0?00?0ab?00解：原式?a0a????b(?1)n?1????an?bn 600?a00?b000?ab15782.已知行列式D?11112036.计算：A41?A42?A43?A44的值 12341578解：A?A?A11114142?A4344?2036?0 61111四、计算题（共2题，每题6分，共12分）

?310??1?11.已知A????121??0???042?,B???230???001?

???求（1）BTAT （2）A2?B2

?120??3?10??5解：(1)BTAT????130??124???38?0712?

???????001????012????012?? 3分41

分 分

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专业及班级 姓名 学号 成绩

?310??310??1?10??1?10?????????22(2)A?B??121?121?230230

??????????042????042????001????001??91??851???1?40??9???????1304? 3分

70 ??574?8???????167???4168???001?????4??2. 求解矩阵方程?14?????12???X??20????11???31??????0?1??? 解：?14?12?6?0,20?11?2?0,

?X???14??1??1??12?31??20????0?1?????11? 4??1?2?4??31??10???11??12? 2?11????0?1????12????1?40??五、计算题（8分）

求下面向量组的秩及一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示

?1???4??1? ????2????1?1=???,?2=??,?????3?3=??, ?1????3?????5???4????6???????7?????141??141???141?解：令???????????2?1?3??1,?2,?3????0?9?5????0?9?5??1?5?4??0????3?6?7???9?5??0?18?10???000??000??从行阶梯形中知向量组的秩R????,?????12,?3??2

且其一个最大无关组为 ?????1,?2 （答案不唯一） 5分 把行阶梯形进一步化为行最简形得

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分

分 《线性代数》作业答题纸

专业及班级 姓名 学号 成绩

??1?0?????0??00?10011?9?????5??5?11? 由行最简形知?3???1??2 （答案不唯一） 3分 9?99?0?0??六、计算题（共2题，每题7分，共14分）

?x1?2x2?x3?x4?0?1．求齐次线性方程组 ?3x1?6x2?x3?3x4?0的通解

?5x?10x?x?5x?0234?1?121?1??121?1?????解：由系数矩阵A??36?1?3???00?40?

?5101?5??00?40??????121?1??120?1????? ??00?40???0010?

?0000??0000?????知R?A??2?4，所以齐次线性方程组有无穷多解。选择自由未知量x2,x4

?x1??2x2?x4得同解方程组? 令x2?c1,x4?c2

x?0?3?x1???2??1??x??1??0?2得通解：???c1???c2??(c1,c2?R) （答案不唯一） 7分

?x3??0??0????????0??1??x4??x1?x2?x2?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?a?123452．a、b取什么值时，线性方程组? 有解？对于有解

?x2?2x3?2x4?6x5?3??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b的情形，求出它的全部解。

?1??3解： A,b???0??51200? 由于线性方程组有解的充要条件为R?A??RA,b??12141123111?3263?11??1?0a????3??0??b??01100120011?63?? 0a??0b?2???，所以，必有a?0,b?2此时

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专业及班级 姓名 学号 成绩

11111??111111??012263?211?30?????12263??000000????433?12??000000?

0?1?1?5?2?12263??00000??00000??知R?A??RA,b?2?5，所以齐次线性方程组有无穷多解。

???1??3A,b???0??5?1?0???0??0??选择x3,x4,x5作为自由未知量 得同解方程组??x1?x3?x4?5x5?2 令x3?c1,x4?c2,x5?c3

x??2x?2x?6x?3345?2?x1??1??1??5???2??x???2???2???6??3?2??????????得通解：?x3??c1?1??c2?0??c3?0???0?(c1,c2,c3?R) 7分

??????????x014???????0??0??????0???0???1????0???x5??七、计算题（10分）

?400????1设A??031?,求正交矩阵P,使得PAP??

?013???4??解：令A??E?002003??1?????4????2??0 13??得特征值为?1?2,?2??3?4 4分

??当?1?2时，解齐次线性方程?A?2E?x?0，由

?200??? A?2E?011?????011???100??011? ????000???0??0????????1???1? 得对应?1?3的特征向量p1??1 单位化得q1????2???1?1???? 44