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2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。 1．设z?A．2
3?i，则|z|= 1?2iB．3
C．2
D．1
2．已知集合U?{1,2,3,4,5,6,7}，A?{2,3,4,5}，B?{2,3,6,7}，则BeUA? A．{1,6} B．{1,7} C．{6,7} D．{1，6,7}
0.20.33．已知a?log20.2,b?2,c?0.2，则
A．a?b?c B．a?c?b C．c?a?b D．b?c?a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度
5?15?1≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳（22斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度
5?1之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，
2头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
之比是5．函数f（x）=
sinx?x在[—π，π]的图像大致为
cosx?x2
B．
A．
C． D．
文科数学试题 第 1 页（共 8 页）
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生 7．tan255°= A．－2－3
B．－2+3
C．2－3 D．2+3
8．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）?b，则a与b的夹角为 A．
π 61B．
π 3C．
2π 3D．
5π 69．如图是求2?112?2的程序框图，图中空白框中应填入
1 2?A1B．A=2?
A1C．A=
1?2A1D．A=1?
2AA．A=
x2y210．双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
abA．2sin40°
B．2cos40°
C．
1
sin50?D．
1
cos50?14，
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－
= cA．6 则
bB．5 C．4 D．3
12．已知椭圆C的焦点为F1(?1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若
|AF2|?2|F2B|，|AB|?|BF1|，则C的方程为
x2A．?y2?1
2
x2y2B．??1
32x2y2C．??1
43x2y2D．??1
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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y?3(x2?x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________． 14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1?1，S3?15．函数f(x)?sin(2x?3，则S4=___________． 43π)?3cosx的最小值为___________． 216．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离
均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
男顾客 女顾客 满意 40 30 不满意 10 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
n(ad?bc)2附：K?．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P2（K≥k） k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
18．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
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19．（12分）
AA1=4，如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，
AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）
已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）
?1?t2x?，??1?t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数），以坐标原点O
4t?y??1?t2?为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2?cos??3?sin??11?0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4?5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
111???a2?b2?c2； abc（2）(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?24．
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文科数学·参考答案
一、选择题
1．C2．C 3．B4．B5．D6．C 7．D8．B9．A10．D11．A12．B 二、填空题 13．y=3x 14．三、解答题 17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为的估计值为0.6．
515．?416．2 840?0.8，因此男顾客对该商5030?0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率50100?(40?20?30?10)2?4.762． （2）K?50?50?70?302由于4.762?3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解：
（1）设?an?的公差为d． 由S9??a5得a1?4d?0． 由a3=4得a1?2d?4． 于是a1?8,d??2．
因此?an?的通项公式为an?10?2n．
（2）由（1）得a1??4d，故an?(n?5)d,Sn?2n(n?9)d. 2an等价于n?11n?10?0，解得1≤n≤10． 由a1?0知d?0，故Sn…所以n的取值范围是{n|1剟n10,n?N}． 19．解：
（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME ∥ B1C，且
ME?11B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND?A1D. 22文科数学试题 第 5 页（共 8 页）
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