?Ibda2?2I?1O?
题图5.3 通电导线和矩形线圈
解：根据电磁感应定律???d?，首先要计算出矩形线圈在任一位置上所交链的磁通。dt该磁通随线圈的旋转而变化，从而在线圈中产生感应电动势。 任一点的磁感应强度为B??2?0Ieφ，穿过任一位置线圈所交链的磁通为 2???0I?Ib?bd??0ln2， 2??2??1和?2????B?dS??S?1式中：?1a?d2?()2?adcos?2a?d2?()2?adcos?2将?1、?2以及
???t代入上式，得
ad2?()2?adcos?t?0Ib2。 ??ln2?ad2?()2?adcos?t2感应电动势为
2ad2?4???d??0Ibad?sin?t??dt2?(d2?a2)?(dacos?t)242
5.6 海水的电导率??4S/m，在频率f=1GHz时的相对介电常数?r?81。如果把海水视为一
5
7??1,??5.7?10S/m，比
等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜，r较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。
解 对于海水，H的微分方程为
??H?J?j?D??E?j??E?j?(??j??的电介质。代入给定的参数，得 即把海水视为等效介电常数为
10?949??E?j2??10(81??j)E36?2??109?j(4.5?j4)E?(4?j4.5)E
?c???j1?10?936??9.75?10?13f75.7?10
?)E?
对于铜，传导电流的幅度为?E，位移电流的幅度??E。故位移电流与传导电流的幅度之比为
??2?f?r?0????2?f?可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H的微分方程
为
??H??E?5.7?107E
5.7 计算铜中的位移电流和传导电流密度的比值。设铜中的电场为Emsin?t，铜的电导率??5.8?107Sm，???0。
??E??Emsin?t；
解：铜中的传导电流为Jc?D?E铜中的位移电流大小为：Jd?????0?Emcos?t；
?t?t因此，位移电流密度与传导电流密度的振幅比值为
JcJ???c?0?JdJd?2?f1?10?9?1936??9.6?10f75.8?10
5.4 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。 证明：根据麦克斯韦方程 ??H?J??D ?t可知通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为上式右边应用散度定理可以写成
?S(J??D)?dS??t?S(??H)?dS
?
S(??H)?dS=???(??H)?dS?0
V6
而左边的面积分为
?S(J??D)?dS=Ic?Id?I ?t故通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。 5.8 坐标原点附近区域中，传导电流密度为J（1）通过半径r（2）在r?er10r?1.5(Am)，求：
?1(mm)的球面的电流值；
?1(mm)的球面上电荷密度的增加率。
解：（1）根据电流密度的定义有I??SJ?dS??2?0??010r?1.5?r2sin?d?d?r?1mm
?40?r0.5r?1mm?3.9738(A)
1d2（2）因为 ??J=2(r?10r?1.5)?5r?2.5
rdr由电流连续性方程，得到
???t????Jr?1mm??1.5811?108Am3
r?1mm5.9 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H?ey2.63?10?5cos(3?109t?10z)Am
求位移电流密度Jd。
解：无源的自由空间中传导电流为零，即Jc?0，那么??H?ez??z0?D ?tex?D????H?所以得到Jd??t?x0ey??yHy
??ex5.10 设z?Hy?z??ex2.63?10?4sin(3?109?10z)Am2
?0的平面为空气与理想导体的分界面，z?0一侧为理想导体，分界面处的磁
场强度为H(x,y,0,t)?exH0sinaxcos(?t?ay)，试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布，以及分界面处的电场强度。
解：根据理想导体分界面上的边界条件，可求得理想导体表面上的电流分布
JS?en?H=ez?exH0sinaxcos(?t?ay)
7
?eyH0sinaxcos(?t?ay)
根据电流连续性方程
??????J，在分界面上有 ?t??S?????Js?[H0sinax?cos(?t?ay)]?aH0sinax?sin(?t?ay)，所?t?y以可得：?S?aH0?sin(ax)?cos(?t?ay)?c(x,y)。
aH0sin(ax)?cos(ay)?c(x,y)?0，所以
假设t?0时，?S?0，则有
?c(x,y)??aH0?sin(ax)?cos(ay)，可得
aH0sin(ax)?cos(ay)
?S?
aH0?aH0sin(ax)?cos(?t?ay)????。 sinax()[c?ots?(ay?)aycos( ) ]再由边界条件en?D=?S以及en的方向可得
aH0D(x,y,0,t)?ezE(x,y,0,t)?ez?aH0sin(ax)[cos(?t?ay)?cosay]
sin(ax)[cos(?t?ay)?cosay]
??05.11 设区域Ⅰ(z?0)的介质参数?r1数?r2?1，?r1?1，?1?0；区域Ⅱ(z?0)的介质参
?5，?r2?20，?2?0。区域Ⅰ中的电场强度
区域Ⅱ中的电场E1?ex[60cos(15?108t?5z)?20cos(15?108t?5z)] Vm，强度E2?exAcos(15?108t?50z) Vm。
试求：（1）常数A；
（2）磁场强度H1和H2。 解：（1）在无耗介质的分界面z?0处，有
E1?ex[60?cos(15?108t)?20?cos(15?108t)]
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