单元练习一答案（求行列式的值，解法不唯一）
一、 填空题
2、求2n元排列 13…(2n-1)24…(2n)的逆序数
分析：此排列奇数和偶数各占一半，前n个奇数从小到大排列，故这些奇数的逆序数为0，从第n+1个元素起，元素的逆序数分别为n-1,n-2,…,1,0。故
t?(n?1)?(n?2)?(n?3)?...?1
n?n?1?
?, 23、四阶行列式中含 a 11 a 23 的项是 分析：按n阶行列式的定义有
1p D ? ? ? ? 1 ? t? p 2? pn ?a 1 p a ,特点：n个元素的乘积项中每个元素来自不同 2p2?anpn1p1p2?pn
行不同列; 且n个元素的行标按照标准次序排列，列标为1,2,…,n这n个自然数的全排列. 4阶行列式每项均可表示为??1?的项，即找出??1?t?p1p2p3p4?t?p1p2?pn? 11 a 23 a1p1a2p2?anpn,找出其中含aa1p1a2p2a3p3a4p4中p1?1,p2?3的所有项，则p3,p4只有
两种选择，即p3?2,p4?4或p3?4,p4?2。故含 a 11 a 的项有 23??1?t?1324?a11a23a32a44??a11a23a32a44；??1?t?1342?a11a23a34a42?a11a23a34a42
4、一个排列中任意两个元素对换，此排列改变奇偶性。
5、分析：分块三角行列式的值为
a11?a1k
??0 a11?a1kb11?b1n D?ak1?akk??????c?cb?b111k111n
ak1?akkbn1?bnn????
cn1?cnkbn1?bnn
ab00
故 D?ba00?ab?ab?(a2?b2)200abbaba
00ba
二、2、分析：按n阶行列式的定义
t?p1p2?pn? D ? | b ij | b 1 ， 共n!项。对于此题行列式，n!项中除了当 ??? ?1?p1b2p2?bnpnp1p2?pn
pn?1,pn?1?2,...,p2?n?1,p1?n的项外，其余都是零项，故
n(n?1) t?nn?1?1?D???1?b1nb2n?1?bn1?a1na2n?1?an1 2 (这里b1n?a1n,b2n-1?a2n-1,...,bn1?an1)三、 分析：此行列式为三阶行列式可直接用沙路法或对角线法则计算。对于一般行列式，先观察是否可用行列式的6个性质将其简化，如每行或每列是否有公因子，有公因子先提公因子；是否有某两行或两列的元素成比列等。
-ab解D?bdbfac?cdcfae-bce-111de?adfb?efb?ce?abcdef1c?e1?11?4abcdef1?1
2、分析：此行列式为4阶范德蒙行列式，若能记住n阶范德蒙行列式的值可直接利用它的结果，若记不住，需计算。这是低阶的范德蒙行列式，不用数学归纳法求。一般方法：有技巧地“打洞”，如此题用“后行减去前行的某倍”的办法打洞，这样可以提公因子，化简行列式。
1解D?aaa321bbb321ccc321ddd3r4?ar3r3?ar2101b?a1c?a1d?a2r?ar21?0b(b?a)c(c?a)d(d?a)0b2(b?a)c2(c?a)d2(d?a)1dd21c?b1d?b
1?(b?a)(c?a)(d?a)bb2r3?br21cc21r2?br1?(b?a)(c?a)(d?a)00c(c?b)d(d?b)11cd?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)
3、分析：此行列式满足“行和或列和相等”，故利用三大步骤计算：（1）统加到第一行（若行和相等）或统加到第一列（若列和相等）；（2）提公因子；（3）打洞。 解：
x?(n?1)aa??a1nc1??cix?(n?1)ax??a1i?2解Dn???????[x?(n?1)a]????xa?x?(n?1)aa?1ari?r1(i?2,3,...,n)0x?a?[x?(n?1)a]??00axax????a??a????xaax1a??a?0?[x?(n?1)a](x?a)n?1???x?a4、分析：此行列式为“爪型”行列式，解题一般方法为将行列式第1列或第1行除 a 11 外都打洞成零。
解法一、当a1a2?an?1?0时，1a0??i?1ai1c1?ci(i?2,3,...,n)ai?10Dn?0?0?(a0??i?1n?1n?11a10?01?100
0?a2??0???an?11)a1a2?an?1ai解法二、将此行列式按第一列展开，得
a1Dn?a00?01a100?010a20?01000?011?a2???010000a2????00?an?1???100a100?0?0?00a3?0?????????an?1000?an?11a110??100?100?01111?10a4??00???(?1)n?20?0???0?an?1a2???0?an?2?a0a1a2?an?1?a2a3?an?1?a1a3?an?1?a1a2a4?an?1???a1a2?an?2当a1a2?an?1?0时，可将上式改写为Dn?(a0??1)a1a2?an?1i?1n?1ai
四、利用性质（6个性质）证明三个行列式相等。
分析：这里用行列式的性质1和性质2即可证明。性质1：行列式与它的转置行列式相等； 性质2：互换行列式的某两行或某两列，行列式变号。
abcxyzyb证明：记D1?xyz,D2?pqr,D3?xapqrabczcxyzxyzr2?r3D1??abc??(?1)pqr?D2pqrabcr1?r2qpr
D2?D2Tx?yzpayr1?r2qb??xrczqbybc2?c3pa??(?1)xarczcqp?D3r?D1?D2?D3
五、分析： 根据行列式按行展开法则，即Dn?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin
其意义为：行列式的值等于某行所有元素乘以各自的代数余子式之和
?
解：M31?3M32?2M33?2M34?A31?3A32?2A33?2A343-511113-5-1233-4c4?c3-5?-2213-31113-5-1133-1r2?r1-2?-201301123-5-1120-2030?2??1123?52?2?243
六、分析：书上25页，n阶齐次线性方程组有非0解充要条件：其系数行列式为0。当其系数行列式为0时，n阶齐次线性方程组只有0解。
解：齐次线性方程组的系数行列式
?11??111
C1?C3r3?r2 D?1?1?0?1??(??1)?
12?102?1
(1)齐次线性方程组有非零解?D?0???1或??0；
(2)齐次线性方程组只有零解?D?0???1且??0；
相关推荐：
loading