平面汇交力系合成
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永泰城乡建设职业中专 朱鉴 教学内容：平面汇交力系的合成
教学目标：学生了解平面汇交力系合成的方法
学生能够运用所学的力系合成的方法对具体问题进行合成 学生对力学有浓厚的兴趣，为以后的课程学习奠定基础 教学重点：解析法在平面力系中的应用 教学难点：平面力系的合成定理的掌握 教学课时：2 教学过程：
平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。下面分别介绍。
一、几何法
首先回顾用几何法合成两个汇交力。如图2—1a，设在物体上作用有汇交于O点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点O。也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。
图2—1
对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的
合成。设作用于物体上O点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2—2a所示。应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F3合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图2—2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为
R=F1?F2?F3?F4 （2—1） 实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2—2c所示。然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图2—2d所示。把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。
从图2—2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。
图2—2
将这一作法推广到由n个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。矢量关系式为：
R=F1?F2?F3?……?Fn=∑Fi （2—1b） 或简写为：
R=∑F （矢量和） （2
—1c）
若力系中各力的作用线位于同一条直线上，在这种特殊情况下，力多边形变成一条直线，合力为：
R=∑F （代数和） （2—2）
需要指出的是，利用几何法对力系进行合成，对于平面汇交力系，并不要求力系中各分力的作用点位于同一点，因为根据力的可传性原理，只要它们的作用线汇交于同一点即可。另外，几何法只适用于平面汇交力系，而对于空间汇交力系来说，由于作图不方便，用几何法求解是不适宜的。
对于由多个力组成的平面汇交力系，用几何法进行简化的优点是直观、方便、快捷，画出力多边形后，按与画分力同样的比例，用尺子和量角器即可量得合力的大小和方向。但是，这种方法要求这图精确、准确，否则误差会较大。
二、解析法
求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的。
1、力在平面直角坐标轴上的投影
设力F用矢量AB表示如图2—3所示。取直角坐标系oxy，使力F在oxy平面内。过力矢AB的两端点A和B分别向x、y轴作垂线，得垂足a、b及a/、b/，带有正负号的线段ab与a/b/分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。并规定：当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值；反之，当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时，力的投影取负值。
力的投影的值与力的大小及方向有关，设力F与x轴的夹角为α，则从图2—3可知
Fx?Fcos?Fy??Fsin? （2
—3）
一般情况下，若已知力F与x和y轴所夹的锐角分别为α、β，则该力在x、y轴上的投影分别为
Fx??Fcos?Fy??Fcos? （2—4）
即：力在坐标轴上的投影，等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。当力与轴垂直时，投影为零；而力与轴平行时，投影大小的绝对值等于该力的大小。
图2—3 图2—4
反过来，若已知力F在坐标轴上的投影Fx、Fy，亦可求出该力的大小和方向角：
F?Fx2?Fy2
tan??FyFx （2—5）
式中α为力F与x轴所夹的锐角，其所在的象限由Fx、Fy的正负号来确定。 在图2—3中，若将力沿x、y轴进行分解，可得分力Fx和Fy。应当注意，力的投影和分力是两个不同的概念：力的投影是标量，它只有大小和正负；而力的分力是矢量，有大小和方向。它们与原力的关系各自遵循自己的规则。在直角坐标系中，分力的大小和投影的绝对值是相同的。同时，力的矢量也可以转化为力的标量进行计算，即
F=Fx+Fy=Fxi?Fyj （2—6） 式中i、j分别为沿直角坐标轴x、y轴正向的单位矢量。
力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练掌握。
例2—1 如图2—4所示，已知F1?100N,F2?200N,F3?300N,F4?400N，各力的方向如图，试分别求各力在x轴和y轴上的投影。
解：根据公式（2—3）或（2—4），列表计算如下 力 F1 F2 F3 F4 力在x轴上的投影（?Fcos?） 100?cos0??100N 力在y轴上的投影（?Fsin?） 100?sin0??0 ?200?cos60???100N ?300?cos60???150N 200?sin60??1003N ?300?sin60???1503N 400?cos45??2002N ?400?sin45???2002N 2、合力投影定理 为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。
图2—5
如图2—5所示，设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的O点，如图2—5所示。从任一点A作力多边形ABCD，如图2—5b所示。则矢量AB就表示该
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