.
【分析】易得直线恒过定点C（1，﹣1），圆x2+y2=4圆心为（0，0）半径为2，
=4﹣2×2×cos＜，
＞，可得当AB⊥OC时，式子取最小值，数形结合联立方程组解点的坐标可得． 【解答】解：直线ax+y﹣a+1=0可化为y+1=﹣a（x﹣1）， 恒过定点C（1，﹣1），圆x2+y2=4圆心为（0，0）半径为2， ∴
=
?
=
?（，，
﹣＞， ＞最小，cos＜，
，
＞取最大值，
）=
﹣
?
=4﹣2×2×cos＜当AB⊥OC时，＜此时
=4﹣4cos＜＞取最小值，
此时OC的斜率为﹣1，由垂直关系可得﹣a=1，解得a=﹣1， 故此时直线方程为y+1=x﹣1，即y=x﹣2， 联立
可解得
或
，
∴＜此时
，＞取最小值=4﹣4cos＜
，cos＜，
，＞取最大值0，
＞取最小值4，
故答案为：4
15．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=
为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲率”，给出以下问题：
①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；
②函数f（x）=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞
；
③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a；
④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=ex上不同两点，且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．
其中正确命题的序号为 ①③ （填上所有正确命题的序号）． 【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】考虑一次函数，求出导数，可得φ（A，B）=0，即可判断①；求出A，B的坐标，求得φ（A，B），即可判断②；求出f（x）的导数，运用不等式的性质，可得φ（A，B）≤2a，即可判断③；求出函数的导数，运用新定义求得φ（A，B），由恒成立思想，即可得到t的范围，即可判断④． 【解答】解：对于①，当函数f（x）=kx+b（k≠0）时，f′（x）=k， φ（A，B）=
=
=0，故①正确；
对于②，由题意可得A（1，1），B（2，5），f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，
.
.
可得φ（A，B）===＜，故②不正确；
对于③，函数f（x）=ax2+b的导数为f′（x）=2ax， 即有φ（A，B）=故③正确；
对于④，由y=ex得y′（x）=ex，
由A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=ex上两点，且x1﹣x2=1，
=
=
≤2a，
可得φ（A，B）==，
由t?φ（A，B）＜1恒成立，可得t＜，
由
故答案为：①③．
＞1，可得t≤1，故④不正确．
三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=，S3=． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2
，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn=+105成立的n的值．
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）讨论q=1和q≠1的情况，分别应用等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到公比和首项，进而得到通项公式．（2）分类讨论q的取值，利用对数的性质求bn，出再进行化简，求得Tn，最后求得n的值．
【解答】解：（Ⅰ）当q=1时，
，
成立；
当q≠1时，，，由，．
解得a1=6，
，则
综上可知：或．
.
.
（Ⅱ）当2n=+105 则n=70 当∴∴解得n=10
时，bn=2则Tn=2n；
=，
==2n，
整理得：n2+n﹣210=0；
综上可知n=10或n=70．
17．我国政府对PM2.5采用如下标准： PM2.5日均值m（μg/m3） m＜35 35≤m≤75 m＞75
空气质量等级 一级 二级 超标
某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（1）求这10天数据的中位数；
（2）从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列； （3）以这10天的PM2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级？
【考点】茎叶图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（ 1）利用茎叶图和中位数的定义求解．
（ 2）由 N=10，M=4，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，利用P（ξ=K）=求出分布列．
（k=0，1，2，3），能
.
.
（ 3）一年中每天空气质量达到一级的概率为，由η～B，能求出一年中空气质量达到一级的天数为72天．
【解答】解：（ 1）由茎叶图知：
10天的中位数为（38+44）2=41（微克/立方米） （ 2）由 N=10，M=4，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3 利用P（ξ=K）=ξ P
0
1
（k=0，1，2，3）即得分布列：
2
3
（ 3）一年中每天空气质量达到一级的概率为， 由η～B，
得到Eη=180×=72（天），
∴一年中空气质量达到一级的天数为72天．
18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求C的值；
（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，令sinA=sin（B+C），展开化简即可得出tanC； （2）使用余弦定理求出c，得出cosB，sinB，则sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）． 【解答】解：（1）∵∴即∴
sinA=
a=
ccosB+bsinC，
，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．
a=
ccosB+bsinC．
sinCcosB+sinBsinC，
sinCcosB+sinBsinC，
sin（B+C）=
sinBcosC=sinBsinC，
．
∴tanC=∴C=
．
（2）在△ABC中由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣12cosC=7， ∴c=
．
=
=
．
由余弦定理得cosB=
.
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