图2 图3
（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形． 所以EP＝FQ．所以yE－yP＝yF－yQ．
因为xP＝t，xQ＝3－t，所以yE＝3－t，yQ＝t，yF＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t． 因为yE－yP＝yF－yQ，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．
图4 图5
（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．
由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝32． 由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝2． 所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能： ①当
BMOB923时，． ??．解得t?（如图5）
BQOP432?2ttBMOP2t2
时，??．整理，得t－3t＋3＝0．此方程无实根．
BQOB32?2t3②当
考点伸展
第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．
§1．2 因动点产生的等腰三角形问题
课前导学
我们先回顾两个画图问题：
1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C． 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外． 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么③如图3，如果CA＝CB，那么
1AC?ABcos?A；21AB?ACcos?A． 2代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1 图2 图3
例 9 2014年长沙市中考第26题
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)1)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)． 16（1）求a、b、c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
和(a,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况．
思路点拨
1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．
2．等腰三角形AMN存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MA＝MN和NA＝NM时，点P的纵坐标是相等的．
图文解析
（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0． 将(a,1112
． )代入y＝ax，得?a2．解得a?（舍去了负值）
16416121x，设点P的坐标为(x,x2)． 44（2）抛物线的解析式为y?1141已知A(0, 2)，所以PA?x2?(x2?2)2?x?4＞x2．
41641而圆心P到x轴的距离为x2，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．
4所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．
（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN． 在Rt△PMH中，PM2?PA2?14112
x?4，PH2?(x)2?x4，所以MH＝4． 16416所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．
等腰△AMN存在三种情况：
①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．
图2 图3
②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝23． 11此时x＝OH＝23?2．所以点P的纵坐标为x2?(23?2)2?(3?1)2?4?23．
44如图5，当NA＝NM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为4?23．
图4 图5
③如图6，当NA＝NM＝4时，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以ON＝23． 11此时x＝OH＝23?2．所以点P的纵坐标为x2?(23?2)2?(3?1)2?4?23．
44如图7，当MN＝MA＝4时，根据对称性，点P的纵坐标也为4?23．
图6 图7
考点伸展
如果点P在抛物线y?12x上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点4
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