例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？ （2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况．还可以体验到，当QC＝2HC时，四边形PQP′C是菱形．
思路点拨
1．在△APQ中，∠A是确定的，夹∠A的两条边可以用含t的式子表示． 2．四边形PQP′C的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．
图文解析
（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sinA＝，cosA＝作QD⊥AB于D，那么QD＝AQ sinA＝t．
354． 53511333515所以S＝S△APQ＝AP?QD＝(5?t)?t＝?(t2?5t)＝?(t?)2+．
225101028515当t?时，S取得最大值，最大值为．
284（2）设PP′与AC交于点H，那么PP′⊥QC，AH＝APcosA＝(5?t)．
5如果四边形PQP′C为菱形，那么PQ＝PC．所以QC＝2HC．
204解方程4?t?2??4?(5?t)?，得t?．
??513??
图3 图4
（3）等腰三角形APQ存在三种情况： ①如图5，当AP＝AQ时，5－t＝t．解得t?②如图6，当PA＝PQ时，
5． 211440． AQ?APcosA．解方程t?(5?t)，得t?2251311425③如图7，当QA＝QP时，AP?AQcosA．解方程(5?t)?t，得t?．
22513
图5 图6 图7
考点伸展
在本题情境下，如果点Q是△PP′C的重心，求t的值． 如图8，如果点Q是△PP′C的重心，那么QC＝
2HC． 3解方程4?t?602?4?． ??4?(5?t)?，得t?3?523?
图8
例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题
如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式； （3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形．若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由．（5?2.24，结果保留一位小数）
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，PQ与BD保持平行，等腰三角形PQC存在三种情况．
思路点拨
1．过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值． 2．线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上． 3．等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长．
图文解析
（1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10． 如图2，当点Q在AB上时，作BD//PQ交AC于点D，那么所以AD＝5．所以CD＝3．
ABAQ2t???2． ADAPtCQ16?2t??2． CP8?tCB6CQCB又因为．因此PQ//BD．所以PQ的最大值就是BD． ??2，所以?CD3CPCD如图3，当点Q在BC上时，
在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，所以BD＝35．所以PQ的最大值是35．
图2 图3 图4 （2）①如图2，当点Q在AB上时，0＜t≤5，S△ABD＝15． 由△AQP∽△ABD，得
S△AQPS△ABD?(t3AP2)．所以S＝S△AQP＝15?()2＝t2．
55AD②如图3，当点Q在BC上时，5＜t≤8，S△ABC＝24．
因为S△CQP＝CQ?CP＝(16?2t)(8?t)＝(t?8)2， 所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．
（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ＝2CP，∠C＝90°，所以△PQC不可能成为等腰三角形．
当点Q在AB上时，我们先用t表示△PQC的三边长：易知CP＝8－t． 如图2，由QP//BD，得
121235QPAPQPt，即t． ??．所以QP?5BDAD355如图4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝t，AH＝t．
6585在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝QH2?CH2＝(t)2?(8?t)2． 分三种情况讨论等腰三角形PQC： （1）①当PC＝PQ时，解方程8?t?658535． t，得t?65?10≈3.4（如图5所示）
535t．整理，得11t2?128t?320?0． 5②当QC＝QP时，(t)2?(8?t)2?所以(11t－40)(t－8)＝0．解得t?658540≈3.6（如图6所示），或t＝8（舍去）． 1185③当CP＝CQ时，8?t?(t)2?(8?t)2．整理，得5t2?16t?0． 解得t?6516＝3.2（如图7所示），或t＝0（舍去）． 5综上所述，当t的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC是等腰三角形．
图5 图6 图7
考点伸展
第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法： ①如图8，当点Q在AB上时，PQ＝QH2?PH2＝(t)2?(t?t)2＝658535t． 5
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