2.1从位移、速度、力到向量 - -教案

第二章 平面向量

2-1从位移、速度、力到向量

一、教学目标：

1.知识与技能

?理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别； ?理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示；

?通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

2.过程与方法

通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.

3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.

二.教学重、难点

重点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.

三.学法与教学用具

学法：(1)自主性学习+探究式学习法；

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容

及其存在的差距。

教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想

【创设情境】

?经验链接：以前学过的量中，有很多量只用一个实数（或加上单位）就能确切表示，如“矩形的面积”、“一个人的身高”行、“一个物体的质量”等.但现实生活中有些量，只用一个实数不能确切地表示它们，如“物体的位移”、“作用在物体上的力”等.这些量，不仅要知道它们的大小，还必须知道它们的方向，才能确切表示它们.在数学中这些量就叫做向量.

?问题链接：在小学的时候，我们曾经学习过这样一则故事，有几个动物找到了很多食物 ，它们想把这些食物用车拉回家去，于是，它们各自在车上绑一根绳子，尽全力拉了起来，可是怎么也拉不动车子，车子一步也不往前直，怎么回事呢？原来，它们各自拉着绳子，往自已的方向上用力：天鹅往上飞去，小猴子往前拉，山羊往后拉，小鼹鼠往地下拉.这个故事告诉我们一个生活哲理：做任何事情我们都应同心协力，可是从数学的角度如何看待、分析这个问题呢？学习向量后，你会得到正确的解答. 【知识探究】

【知识点1】向量的物理背景 ?矢量的概念

作用于某一物体的力，拉力与重力虽然大小相同，但方向不同，因此它们并非同一力，不仅有大小还有方向.满足这两个要素的量，在物理学上，我们称之为

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矢量，即既有大小，又有方向的量. ?位移、速度、力的特征

对于位移，它只与质点的起点、终点位置有关，而与质点实际运动的路线无关，只要距离相同，方向相同就是相等的位移.对于力，需要注意的是较之位移，不仅有大小、方向、还有作用点.根据速度的定义，我们知道速度是伴生于位移的.

解析：判断一个量是否是矢量，关键是它是否符合矢量的要素即要具有方向又要具有大小.

【知识点2】向量的概念 既有大小又有方向的量统称为向量.

解析：?向量不同于数量，向量不仅有大小还有方向。大小是代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征.所以向量不能像实数那样比较大小，因为方向没有大小之分.

?向量与矢量既有联系又有区别，如力的矢量不仅与大小、方向有关，而且还与作用点有关.数学上的向量仅与大小、方向有关，与起点位置无关，所以所以又称向量为“自由向量”。

例1：下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨温度；⑩距离。其中是向量的有 ②③④⑤ 。 思考：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

【知识点3】向量的表示 ?几何表示法：画图时，向量一般用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向。 ?字母表示：印刷时，用黑体字a、b、c…表示

a A(起点)

B

（终点）

???书写时，常用a,b,c?表示，

????????或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如AB,CD等

解析：（1）向量用有向线段来表示反映了向量的几何特征，但向量不等价于有向线段，因有向线段不仅与方向、长度有关，还与起点的位置有关.但向量仅与大小、方向有关，与起点位置无关.所以向量可用有向线段来表示，但是有向线段不一定就是向量.

??（2）向量用字母表示有利于向量的代数运算，但要注意向手写体a,b与印刷体

a,b的不同即用手写不出印刷体的字来.

??????思考： AB与BA是否同一向量？

答：不是同一向量。

【知识点4】与向量相关的概念

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?????⑴向量的模：向量的大小，即向量的长度，记作AB（或a）.

解析：向量虽不能比较大小，因向量的模是实数，所以向量的模可以比较大小.

?⑵零向量：长度为零的向量称为零向量，记作0或0.

???量，记作a0。

规定：零向量的方向是任意的。

??⑶单位向量：与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向

解析：①单位向量的模等于1，其方向不确定；

????a②某方向上的单位向量的求法a0??.

a思考：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

??(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量.记作：a?b

若向量a和向量b相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

解析：①两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们为相等

??????向量.例如a?b，就意味着a?b，且a与b的方向相同.

②由向量的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的.因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点.由此可知，任意一组平行向量都可以移到同一条直线上. ⑸平行向量、共线向量：

a

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。

规定：零向量与任一向量平行.

b c ??????如a与b与c是平行向量或共线向量，记作a//b//c.

C O B A ?????????

OA=a OB=b OC=c

解析：①共线向量也就是平行向量，其要求同个非零向量的方向相同或相反，这些向量所在的直线可以平行，也可以重合.

②共线主要是指任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.

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三、经典基础例题

【例1】下列说法正确的是（ ）

????????A.向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上

????B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

???????C.向量AB的长度与向量BA的长度相等

D.单位向量都相等

分析：利用向量的有关概念进行分析判断.

解：对于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别.有向线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上.

??对于B，由于零向量与任意向量平行或共线，因此，若a，b中有一个为零向量

时，共方向是不确定的.

对于D需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅需要长度相等而且还要求方向相同.故选C.

【例2】如图2-1-1所示，设O是正六边形ABCDEFB A 的中心.

?分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量； C ?分别写出图中与向量OD、OE、OE共线的向量.

D E ?????????????????? O F ?与OA的模相等的向量有多少个？

?是否存在与OA长度相等，方向相反的向量？ ?与OA共线的向量有哪些？

【例3】判断下列命题：

?两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同； ?若两个单位向量共线，则必相等；

???????若a//b且b//c,则a//c；

?????????四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB?CD。

真命题的个数为 （ ） 解：对?，假命题；

对于?假命题，两个单位向量共线，方向可能相同，也可能相反；

?对于?假命题，假定向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合??????a//b且b//c条件，但结论a//c不一定成立.

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